Вопрос 4. Скрещивающиеся прямые
Параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве
Лекция
План
Вопрос 1. Параллельные прямые в пространстве.
Вопрос 2. Параллельность трех прямых.
Вопрос 3. Параллельность прямой и плоскости
Вопрос 4. Скрещивающиеся прямые
Вопрос 1. Параллельные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются:
Обозначение параллельных прямых: a || b.
Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость). Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Вопрос 2. Параллельность трех прямых.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Дано: 
Доказать: 
.
Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая через точку К и прямую а. Докажем, что прямая b лежит в плоскости α.
Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.
|
|
|
Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.
Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.
Вопрос 3. Параллельность прямой и плоскости
Три случая взаимного расположения прямой и плоскости
1. Прямая лежит в плоскости:
2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются: 
3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки:
Определение параллельности прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: 
Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны.
|
|
|
Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Утверждение. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Утверждение. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Задача. Параллельные прямые а и b лежат в плоскости 
. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .
Дано: а || b, 
Доказать: 
Доказательство:
Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.
|
|
|
Вопрос 4. Скрещивающиеся прямые
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!