Сравнения первой степени с одним неизвестным
Рассмотрим сравнение (1)
Т1. Если ( a , m )=1, то сравнение (1) имеет решение и притом единственное.
Т2. Если ( a , m )=d и , то сравнение (1) не имеет решений.
Т3. Если (a , m )=1 и то сравнение (1) имеет решений.
Примеры.
1. Сравнение имеет единственное решение, т.к. НОД (3, 7)=1.
2. Сравнение не имеет решений, т.к. НОД (5, 15)=5 и 7 не делится на 5.
3. Сравнение имеет два решения, т.к. НОД (8, 10)=2 и 6 делится на 2.
Методы решений сравнений первой степени с одним неизвестным
Рассмотрим сравнение (1) .
1. Метод испытания полной системы вычетов по модулю .
Пример.
Решить сравнение . НОД(4, 7)=1 .
Запишем полную систему вычетов по модулю 7 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} и выясним, какое число удовлетворяет сравнению
,
.
2. Метод Эйлера.
.
Пример. Решить сравнение . НОД(3, 10)=1 .
=4
. .
3. Метод непрерывных дробей.
Разложим отношение коэффициента при х и модуля в конечную цепную дробь и воспользуемся свойствами подходящих дробей:
.
.
Пример.
Решить сравнение . НОД(17, 63)=1 .
.
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 3 | 1 | 2 | 2 | 2 | |
0 | 1 | 1 | 3 | 7 | 17 | |
1 | 3 | 4 | 11 | 26 | 63 |
. .
4. Искусственные приемы.
1) . Подберем t так, чтобы
.
Пример.
Решить сравнение . НОД(2, 9)=1 .
.
2) . Умножим обе части сравнения на такое целое число с, что Получим Учитывая, что
, получим
|
|
Пример.
Решить сравнение 3 . НОД(3, 5)=1 .
3
Окончательно получаем .
Обратите внимание, что все методы решения сравнений применяются только в том случае, когда сравнение имеет единственное решение.
Пример. Решить сравнение любым методом
НОД(10, 45)=5, сравнение имеет 5 решений.
Разделим обе части сравнения и модуль на 5, получим равносильное сравнение
НОД(2, 9)=1, значит сравнение имеет единственное решение. Так как сравнение принимает вид , и т.к. НОД(2, 9)=1 разделим обе части сравнения на 2. Получим . Возвращаемся к модулю 45 и находим 5 решений данного сравнения по формуле , где t= . В результате получаем:
, и .
Показатель числа a по модулю m
Пусть .
Определение. Показателем числа а по модулю m называется наименьший положительный показатель степени числа а, сравнимой с 1 по модулю m .
Обозначается: .
.
Пример. Найти .
.
Свойства
1)
2)
3)
Из свойства 2 следует, что является положительным делителем .
Пример. Найти .
2, 4, 7, 14, 28.
Находим числа, сравнимые со степенями числа 3 с показателями, равными делителям , пока в правой части сравнения не получим 1.
.
|
|
Первообразные корни по модулю m
Определение. Число а, взаимно простое с m , называется первообразным корнем по модулю m, если
Примеры.
1) Число
2) По модулю первообразных корней нет, т.к. и
,
,
.
Теорема. Если число а, взаимно простое с m , является первообразным корнем по модулю m, то числа образуют приведенную систему вычетов по модулю m.
Теорема Гаусса. По простому нечетному модулю p первообразные корни существуют и число их равно .
Первообразные корни по простому модулю p>2 можно находить:
1) По определению, т.е. найти показатель числа по модулю p, если он равен p-1, то число является первообразным корнем по модулю р, если он меньше (р-1), то число первообразным корнем не является
2) По теореме: если и то а- первообразный корень по модулю р.
Пример.
Следовательно, 7 – первообразный корень по модулю 11.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 473; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!