Правило перевода правильных дробей умножением на основание новой с. с.
1) Умножить дробную часть числа на основание новой с. с., выраженное цифрами исходной системы (например, при переводе числа из 7-ой с.с. в 16-ую с.с. умножаем на 22, т.к. 16=227), при этом все вычисления выполняются в исходной системе счисления;
2) Зафиксировать целую и дробную части полученного произведения;
3) Если дробная часть произведения отлична от 0, то продолжить действия с дробной частью полученного произведения, начиная с пункта 1);
4) Если дробная часть произведения равна 0, составить дробную часть числа в новой системе, начиная с целой части первого произведения (выраженную цифрами алфавита новой системы счисления).
5) Если дробная часть не принимает нулевое значение, следует проанализировать полученный результат на случай обнаружения циклической дроби или прекратить вычисления, если точность представления результата удовлетворяет заданному значению.
Пример 9
0,1012 ® А5.
Так как 5=1012, то умножаем на 101 в 2-ой с.с.
 0,101 × 101 =11,001
| 11 | |
| 0,001 × 101 =0,101 | 0 | |
| 0,101 × 101 = 11,001 | 1 | |
Так как появился повтор, то имеем периодическую дробь
0,1012 = 0,(30)5
Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в с.с. q
Для того, чтобы бесконечную периодическую дробь переводить в любую q-ую с.с., необходимо научиться правильно умножать период дроби на произвольное число.
Правило умножения периода правильной дроби на натуральное число N
|
|
|
1) Если при умножении периода дроби на N количество цифр в произведении равно количеству цифр в периоде исходного числа, то период результата равен полученному произведению, следует перейти к п.6, иначе перейти к п.2;
2) «лишними» цифрами будем считать m - k первых слева цифр результата, где m – количество цифр в результате, k – количество цифр в периоде исходной дроби;
3) Сложим число, образованное «лишними» цифрами, с числом, образованным правыми k цифрами промежуточного результата;
4) Если количество цифр в получившемся результате сложения больше, чем k , то процесс следует повторить с п.2;
5) Если количество результата сложения стало равным количеству цифр периода исходной дроби, то период произведения равен последнему результату суммирования;
6) Непериодическая (целая – для чисто периодических дробей) часть результата равна сумме чисел, образованных из «лишних» цифр каждого этапа.
Если же у исходной дроби изначально была своя непериодическая часть, то умножить также следует и ее, а затем сложить с результатом умножения периода.
Пример 10
0,(09)·8=0,(72), т.к. количество цифр произведения равно количеству цифр периода исходного числа.
|
|
|
Пример 11
0,(7)·16
Так как 7*16=112, то «лишними» являются две левые цифры, образующие число 11.
Т.к. 11+2=13, то снова сложим «лишнее» число 1 с правой цифрой.
1+3=4 – это период результата.
Сложив «лишние» числа, получим целую часть результата.
11+1=12
0,(7)·16=12,(4)
Пример 12
0,7(6)·12
Сначала умножим на 12 периодическую часть дроби: 6*12=72.
7+2=9 – период результата.
Непериодическая часть результата равна «лишнему» числу 7.
Т.о., 0,0(6)*12=0,7(9).
Умножив непериодическую часть дроби на 12, получим 0,7*12=8,4.
0,7(6)·12=8,4+0,7(9)=9,1(9)≈9,2
Теперь рассмотрим примеры перевода периодических дробей в любую с.с. по основанию q.
Пример 13
0,7(6)10→А12
| 0,7(6)*12=9,1(9) | 9 |
| 0,1(9)*12=1,2+0,0(9)*12=1,2+1,1(9)=2,3(9)=2,4 | 2 |
| 0,4*12=4,8 | 4 |
| 0,8*12=9,6 | 9 |
| 0,6*12=7,2 | 7 |
| 0,2*12=2,4 | 2-повтор |
0,7(6)10=0,9(2497)12
Пример 14
0,(3)10→А2
| 0,(3)*2=0,(6) | 0 |
| 0,(6)*2=1,(3) | 1 |
| 0,(3)*2=0,(6) | 0-повтор |
0,(3)10=0,(01)2
Второй способ перевода основывается на том, что любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, затем числитель и знаменатель этой дроби перевести в новую с.с. по основанию q и выполнить деление в новой с.с.
Пример 15
| 1 | 11 |
| 0 | 0,(01) |
| 10 0 | |
| 100 11 | |
| 1 |
0,(3)10→А2
|
|
|
Упражнения
Упражнение 1. В какой системе счисления возможна запись следующих чисел 581, 203, F01 и A01.
Упражнение 2. Выпишите первые 10 чисел натурального ряда в системе счисления по основанию 6.
Упражнение 3. Какое число следует за числом 113 в 4-ой системе счисления?
Упражнение 4
Дано десятичное число. Перевести его в с.с. по основанию q.
Таблица 2
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №В | Число | с. с. q | №В | Число | с. с. q | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. | 25,21 | 5 | 11. | 212,3 | 13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. | 1023,05 | 16 | 12. | 35,25 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. | 23,01 | 4 | 13. | 1,303 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. | 120,058 | 16 | 14. | 78,12 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. | 125,6 | 13 | 15. | 5,203 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. | 26,4 | 3 | 16. | 7,421 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. | 1002,02 | 9 | 17. | 65,65 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8. | 1250,22 | 16 | 18. | 2,05 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9. | 27,15 | 2 | 19. | 45,03 | 16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10. | 405,25 | 4 | 20. | 65,9 | 3 |
|
|
|
Упражнение 5
Дано число в десятичной системе счисления (см. Таблица 3). Перевести число в заданную систему счисления. Найти цифру, стоящую на указанной позиции после запятой.
Таблица 3
| № | число | с. с. | № позиции | № | число | с. с. | № позиции |
| 1 | 12,45 | 8 | 1934 | 11 | 27,4 | 8 | 1981 |
| 2 | 22,6 | 3 | 1918 | 12 | 16,95 | 8 | 1980 |
| 3 | 17,8 | 4 | 1812 | 13 | 56,95 | 4 | 1985 |
| 4 | 14,4 | 8 | 1945 | 14 | 21,775 | 5 | 1983 |
| 5 | 15,45 | 7 | 1958 | 15 | 6,575 | 4 | 1999 |
| 6 | 19,02 | 16 | 1981 | 16 | 34,575 | 8 | 1998 |
| 7 | 23,06 | 16 | 1951 | 17 | 7,675 | 8 | 1991 |
| 8 | 35,08 | 16 | 1954 | 18 | 9,675 | 9 | 1989 |
| 9 | 21,35 | 4 | 2001 | 19 | 43,275 | 4 | 2002 |
| 10 | 19,8 | 8 | 2000 | 20 | 52,775 | 16 | 1900 |
Упражнение 6
Выполнить четыре арифметических действия (+ , –, *, /) над числами А и В в заданной системе счисления (см. Таблица 4).
Таблица 4
| №В | А | В | Система счисления |
| 1. | 110 | 0,11 | 2 |
| 2. | 111,1 | 10,1 | 2 |
| 3. | 1010,011 | 11,01 | 2 |
| 4. | 110101,1 | 11,01 | 2 |
| 5. | 11101,0111 | 101,1 | 2 |
| 6. | 12,2 | 20,11 | 3 |
| 7. | 45,45 | 7,123 | 8 |
| 8. | 123,44 | 22,305 | 6 |
| 9. | 240,1 | 3,02 | 6 |
| 10. | 8D4,22 | A1,4 | 16 |
| 11. | 2B,05 | 9,D01 | 16 |
| 12. | 55,02 | 17,17 | 8 |
| 13. | 44,02 | 3,3 | 5 |
| 14. | 7012,3 | 4,2 | 8 |
| 15. | 1020,22 | 12,1 | 3 |
| 16. | 0,F4 | 12,7A | 16 |
| 17. | AA,3 | 5,07 | 16 |
| 18. | 23,02 | 2,11 | 4 |
| 19. | 18,05 | 15,2 | 9 |
| 20. | 25,16 | 6,077 | 8 |
Упражнение 7
Определить существует ли система счисления, в которой все три равенства (см. Таблица 5) выполняются одновременно. Если такая система существует, то определить ее основание.
Таблица 5
| № | Равенство1 | Равенство 2 | Равенство 3 | № | Равенство1 | Равенство2 | Равенство 3 |
| 1 | 3+4=7 | 3*4=14 | 27+37=66 | 11 | 4+5=10 | 4*5=24 | 39+29=70 |
| 2 | 5+6=14 | 5*6=55 | 11+46=60 | 12 | 4+2=12 | 4*2=20 | 21+13=40 |
| 3 | 2+6=11 | 5*6=42 | 10+12=22 | 13 | 5+1=10 | 5*1=5 | 25+11=40 |
| 4 | 3+5=12 | 3*5=23 | 12+14=30 | 14 | 6+3=14 | 6*3=24 | 40+12=52 |
| 5 | 6+6=15 | 6*6=51 | 12+15=30 | 15 | 4+7=12 | 4*7=23 | 41+15=46 |
| 6 | 2+1=10 | 12*10=120 | 21+1=22 | 16 | 3+7=12 | 3*7=25 | 35+14=51 |
| 7 | 4+3=12 | 4*3=22 | 14+11=30 | 17 | 4+5=11 | 4*5=24 | 27+33=62 |
| 8 | 8+8=17 | 8*8=71 | 14+16=31 | 18 | 2+6=11 | 2*6=15 | 41+15=46 |
| 9 | 11+6=20 | 6*5=42 | 14+10=24 | 19 | 2+6=12 | 2*7=22 | 22+51=73 |
| 10 | 5+8=14 | 5*8=44 | 11+12=23 | 20 | 6+3=30 | 6*3=60 | 11+12=30 |
Упражнение 8
Выполнить перевод числа, заданного в с. с. q 1 –ой с.с. в новую с. с. q 2 с. с. методом деления и умножения на основание новой с.с.
Таблица 6
| №В | Исходное число | Исходная q 1 с. с. | С.с. q 2 | №В | Исходное число | Исходная q 1 с. с. | С.с. q 2 |
| 1. | 13,8 | 9 | 16 | 11. | 45,23 | 7 | 10 |
| 2. | 202,45 | 7 | 3 | 12. | D0,25 | 16 | 10 |
| 3. | 10011,11 | 2 | 3 | 13. | 361,44 | 7 | 9 |
| 4. | F23,D | 16 | 5 | 14. | 1101011,11 | 2 | 5 |
| 5. | 12,A | 16 | 7 | 15. | 452,081 | 9 | 4 |
| 6. | 12,02 | 3 | 5 | 16. | 3A,2 | 16 | 5 |
| 7. | 56,23 | 7 | 9 | 17. | 12,7A | 12 | 16 |
| 8. | 22,012 | 3 | 4 | 18. | AA,32 | 12 | 10 |
| 9. | 410,2 | 5 | 8 | 19. | 2103,5 | 7 | 13 |
| 10. | 334,01 | 5 | 2 | 20. | 4710,25 | 8 | 10 |
Упражнение 9
a) Третья цифра шестнадцатеричного числа равна 9. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 2B7A16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________
b) Третья цифра шестнадцатеричного четырехзначного числа равна 1. Последнюю цифру переставили в начало числа. Полученное число оказалось на 4A7916 больше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
c) Вторая цифра шестнадцатеричного числа равна 5. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 3F1B16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
d) Вторая цифра шестнадцатеричного числа равна 3. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 1F2С16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
e) Трехзначное число, записанное в 16-ой с.с., увеличивается втрое от перестановки первой цифры в конец числа. Найдите исходное число.
Упражнение 10
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
Упражнение 11
Восстановите двоичные цифры в приведенных примерах:
a) **0*0*1**12+10111*10**2=100*1*000102;
b) *1*0**002 – 11*11*112=10*12;
c) ***0**002 – 11*11*112=1101*12.
Упражнение 12
Даны числа в 4-ой системе счисления от 1до 33. Выпишите все числа, делящиеся на 3 без остатка.
Упражнение 13
Выполнить умножение десятичной периодической дроби на заданное натуральное число.
Таблица 7
| №В | Периодическая дробь | Натур. число | №В | Периодическая дробь | Натур. число |
| 1. | 0,(1) | 12 | 11. | 0,(45) | 6 |
| 2. | 0,(15) | 3 | 12. | 0,(123) | 2 |
| 3. | 0,(81) | 7 | 13. | 0,00(15) | 8 |
| 4. | 0,(19) | 16 | 14. | 0,00(21) | 13 |
| 5. | 0,(48) | 10 | 15. | 0,31(02) | 12 |
| 6. | 0,0(23) | 5 | 16. | 0,11(16) | 16 |
| 7. | 0,0(18) | 16 | 17. | 0,20(24) | 5 |
| 8. | 0,1(7) | 8 | 18. | 0,12(88) | 5 |
| 9. | 0,2(15) | 4 | 19. | 0,000(112) | 12 |
| 10. | 0,5(22) | 2 | 20. | 0,0(121) | 3 |
Упражнение 14
Выполнить перевод заданной периодической дроби в заданную систему счисления q .
Таблица 8
| №В | Периодическая дробь | Система счисления | №В | Периодическая дробь | Система счисления |
| 1. | 0,(1) | 2 | 11. | 0,(45) | 6 |
| 2. | 0,(5) | 3 | 12. | 0,(123) | 2 |
| 3. | 0,(8) | 7 | 13. | 0,0(15) | 16 |
| 4. | 0,(9) | 16 | 14. | 0,21(21) | 3 |
| 5. | 0,(8) | 2 | 15. | 0,6(02) | 12 |
| 6. | 0,(23) | 5 | 16. | 21,5(6) | 16 |
| 7. | 0,(18) | 16 | 17. | 621,2(24) | 5 |
| 8. | 0,0(7) | 8 | 18. | 0,12(8) | 5 |
| 9. | 0,0(15) | 4 | 19. | 12,(12) | 12 |
| 10. | 0,5(22) | 2 | 20. | 12,0(81) | 3 |
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 124; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!