Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек:

а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она при-

надлежит этой плоскости;

б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая

пересекает плоскость;

в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в беско-

нечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Называются позиционными задачами.

Прямая параллельна плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую (рис. 1).

(AB)//(CD) Q (AB)//Q

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

^{Рис. 1}(AB) P//Q (AB)//Q

Прямая пересекает плоскость

Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, рис. 2), то горизонтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать горизонтальному следу плоскости и горизонтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется горизонтальная проекция k точки K (точки пересечения прямой AB с горизонтально-проецирующей плоскостью Q ( CDE)), а затем ее фронтальная проекция.

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

На рис. 3 изображена плоскость общего положения P ( CDE) и горизонтально-проецирующая прямая AB, пересекающая плоскость в точке K. Горизонтальная проекция точки точка k совпадает с точками a и b. Для построения фронтальной проекции точки пересечения проведем через точку K в плоскости P прямую (например, 1 2). Сначала построим ее горизонтальную проекцию, а затем фронтальную. Точка K является точкой пересечения прямых AB и 1-2, то есть точка K одновременно лежит на прямой AB и в плоскости P и, следовательно, является точкой их пересечения.

Рис. 2 Рис. 3

3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомогательной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной плоскостью Q (линия MN) (рис. 4).

Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану.

1. Через прямую AB проводят вспомогательную плоскость P.

(AB)

2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Q и вспомогательной плоскости P.

(MN) Q P

Рис. 4

3. Так как прямые AB и MN лежат в одной плоскости P, то определяют точку их пересечения (точку K), которая является точкой пересечения прямой AB с плоскостью Q.

3.( )K (AB) (MN)

4. Определяют взаимную видимость прямой AB и плоскости Q.

Задача: Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника СDE (рис. 5). Точки задаются координатами: A(9,1,2), B(2,7,6), C(11,7,4), D(2,4,2), E(5,0,7)

Задачу решаем по выше рассмотренному плану.

Через прямую AB проводим вспомогательную фронтальнопроецирующую плоскость P.

(AB) P V

Строим линию пересечения MN заданной плоскости Q ( CDE) и вспомогательной плоскости P.

(12) P Q(ΔCDE)

Так как прямые AB и MN лежат в одной плоскости P, то определяем точку их пересечения (точку K), которая является точкой пересечения прямой AB с плоскостью Q.

( )K 12 AB

Определяем взаимную видимость прямой AB и плоскости Q.

Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение точек на скрещивающихся прямых (конкурирующих точек).

( )1 CD ( )4 АВ

( )3 AB ( )5 СD

Рис. 5 Y₁Y₃Z4 Z5

Взаимное положение двух плоскостей Параллельные плоскости.

Плоскости будут параллельными:

если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно па-

раллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6); если плоскости параллельны, то параллельны их одноименные следы

(рис. 7).

Плоскости пересекаются

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо или найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим

плоскостям; или найти одну точку, принадлежащей двум плоскостям, и на-

правление линии пересечения.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Плоскости в пространстве могут занимать различное положение.

рассмотрим три случая построения линии их пересечения.

1. Линия пересечения двух проецирующих плоскостей

Если плоскости занимают частное положение, например, как на рис. 8, являются горизонтально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронтальная проекция линии пересечения перпендикулярна оси проекций.

2. Линия пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскости

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна. На рис. 9 показано построение проекций линии пересечения горизонтально-

проецирующей плоскости, заданной следами, c плоскостью общего положения (треугольник ABC).

На горизонтальной проекции (рис. 9) в пересечении следа плоскости P_Н и сторон АС и ВС треугольника АВС находим горизонтальные проекции n и m линии пересечения. По линиям связи находим фронтальные проекции точек M и N линии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость V по горизонтальной про-

екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения MN (mn) находится перед плоскостью P, то есть будет видимой на фронтальной плоскости проекций. Остальная часть за плоскостью P, то есть невидима.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения осуществляется с помощью дополнительных плоскостейпосредников.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными. В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

(12) Q ABC

(34) Q EFK

( )M (12) (34)

(56) P ABC

(78) P EFK

( )N (56) (78)

Соединяем полученные точки М и N и определяем взаимную видимость фигур.

Рис. 10

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, заданных треугольниками с координатами вершин:

ABC - A(16,2,0), B(10,9,7), C(1,4,3)

DEF - D(5,9,0), E(16,1,5), F(9,1,9)

На рис. 11 дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости плоскость P через сторону ED и плоскость Q через сторону DF треугольника DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2. В пересечении фронтальных проекций 1 -2 и d e находим фронтальную проекцию точки M(m) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треугольник ABC по прямой 3-4. В пересечении фронтальных проекций 3 -4 и b c находим фронтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.