Примечание Александра Ларина (Москва).
В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.
21. 
Функция 
определена на промежутке 
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Решение.
Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции.
Ответ: −2.
22. 
На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: 
, 
, 
, 
, 
В скольких из этих точек производная функции 
положительна?
Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки 
Таких точек 5.
Ответ: 5.
23. 
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , 
В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки 
Таких точек 7.
Ответ:7.
24. 
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.
Ответ:−2.
25. 
На рисунке изображён график функции 
— производной функции 
определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции 
Решение.
Точке минимума соответствует изменение знака производной с минуса на плюс. Поэтому 
Ответ: 4.
26. 
Функция определена и непрерывна на отрезке 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть полуинтервалам (−6; −5,2] и [1,7; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на отрезках [−6; −5,2] и [1,7; 5]. Данные промежутки содержат целые точки −6, 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 8.
Ответ: 8.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке 
и монотонна на интервале 
то функция монотонна на всем отрезке 
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке 
и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на 
27. 
Функция определена и непрерывна на интервале 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.
Ответ: 3.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
28. 
Функция определена и непрерывна на отрезке 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть полуинтервалам (−5; −3,5] и [3,5; 6). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезках [−5; −3,5] и [3,5; 6]. Данные промежутки содержат целые точки −5, −4, 4, 5 и 6. Их сумма равна 6.
Ответ: 6.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
29. 
Функция определена и непрерывна на полуинтервале 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть интервалу (−4; −1). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезке [−4; −1]. Данный промежуток содержит целые точки −4, −3, −2 и −1. Их сумма равна −10.
Ответ: −10.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
30. Функция определена и непрерывна на полуинтервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалу (−1; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на полуинтервале [−1; 5). Данный промежуток содержит целые точки −1, 0, 1, 2, 3 и 4. Их сумма равна 9.
Ответ: 9.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 74; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!