Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Задание 1. (7.12. ПН)

Тема: Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.

Теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер m х n» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2 х 3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j -го столбца данной матрицы (в примере b ₂₃ =5).

При ссылке на i -ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j -й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a ₁₁ , a ₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn ) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3 х 3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A , B называются равными (A = B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

1.Сложение матриц.

Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А = и В = называется матрица С = элементы, которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е , где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n.

Пример 1.

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число k называется матица kA, каждый элемент которой равен k , i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n. т.е.

если А= , то kA=

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Пример 2. , k=2

kA=

Матрица –А =(-1)∙А называется противоположной матрице А. Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В).

Операция сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. переместительный закон сложения А+В=В+А,

2. сочетательный закон сложения (А+В)+С=А+(В+С),

3. А+О=А;

4. для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0, т.е. матрица, противоположная А;

5. 1∙А=А;

6. α∙(А+В)=αА+αВ;

7. (α+β)∙А=αА+βА;

8. α∙(βА)=(αβ)∙А.

где где А, В, С - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного размера m х n, а α и β – числа.

Пример 1. Найти 2 A - B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Произведение матриц.

Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где , .

Получение элемента схематично изображается так:

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пресечении i -ой строки и j -го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i -ой строки ( , , …, ) матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца ( , , …, ) матрицы В и полученные произведения сложить.

Если матрицы А и В произвольного размера, то произведения АВ и ВА не всегда существуют.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть . Произведением этих матриц называется матрица

чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. и ) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. и ) и полученные произведения сложить: ;

чтобы получить элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца (т.е. и ) и полученные произведения сложить: ;

аналогично находится элементы и .

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко доказать, что А∙Е=Е∙А=А, где А-квадратная матрица, Е- единичная матрица того же размера.

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

Решение. Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 9 элементов. Найдем каждый элемент матрицы-произведения:

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

Решение. Произведение матриц А∙В не определенно, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определенно произведение В∙А: Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 6 элементов.

В∙А=

Умножение матриц обладают следующими свойствами:

1. А∙(В∙С)= (А∙В)∙С;

2. А∙(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)∙С=АС+ВС;

4. α(АВ)=(αА)В.

Произведение AB можно определить только для матриц A размера m х n и B размера n х p, при этом AB = C, матрица C имеет размер m х p .

3. Транспонирование матриц.

Матрицей, транспонированной к матрице A размера m х n , называется матрица A^T размера n х m , строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

4.Ранг матрицы.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r ( A ). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r ( A )=3, r ( B )=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше (например, для матрицы А размера 2 х 3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b ₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ( ):

Вычисление определителей.

Определитель матрицы A размера 2 х 2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3 х 3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти определители: а) б)

Решение: а) det = = = 3·5 – (-2)·(-4) = 15 – 8 = 7

б) det = =

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Например, Минор М₁₂, соответствующий элементу определителя , получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е. .

Пример 3. Записать все миноры определителя

Решение.

, , ,

, , .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента принято обозначать .