История математики в древней греций
Ионийский период (600-450 до н.э.). В результате самостоятельного развития, а также на основе определённого запаса знаний, заимствованных у вавилонян и египтян, математика превратилась в особую научную дисциплину, основанную на дедуктивном методе. Согласно античному преданию, именно Фалес положил начало этому процессу. Однако истинная заслуга в создании Математики как науки принадлежит, видимо, Анаксагору и Гиппократу Хиосскому. Демокрит, наблюдая за игрой на музыкальных инструментах, установил, что высота тона звучащей струны изменяется в зависимости от её длины. Исходя из этого, он определил, что интервалы музыкальной гаммы могут быть выражены отношениями простейших целых чисел. Основываясь на анатомической структуре пространства, он вывел формулы для определения объёма конуса и пирамиды. Для математической мысли этого периода было характерно наряду с накоплением элементарных сведений по геометрии наличие зачатков теории двойственности, элементов стереометрии, формирование общей теории делимости и учения о величинах и измерениях.
Афинский период (450 - 300 до нэ). Развиваются специфические греческие математические дисциплины, наиболее значительной из которых было геометрия и алгебра. Целью геометризации математики, в сущности, был поиск решения чисто алгебраических задач (линейные и квадратные уравнения) с помощью наглядных геометрических образов. Он был обусловлен стремлением найти выход из затруднительного положения, в котором оказалась математика, вследствие открытия иррациональных величин. Было опровергнуто утверждение, что соотношения любых математических величин могут быть выражены через отношения целых чисел, т.е. через рациональные величины. Под влиянием сочинений Платона и его учеников Феодор Киренский и Теэтет занимались разработкой проблемы несоизмеримости отрезков, в то время как Евдокс Книдский сформулировал общую теорию отношений, которую можно было применять также и для иррациональных величин.
|
|
|
Эллинистический период (300 - 150 до нэ). В эпоху эллинизма, античная математика достигла высшей степени развития. В течение многих столетий основным центром математических исследований оставался Александрийский Мусейон. Около325 до нэ Евклид написал сочинение "Начала" (13 книг). Будучи последователем Платона он практически не рассматривал прикладные аспекты математики. Им уделял особое внимание Герон Александрийский. Только создание учёными западной Европы в 17 веке новой математики переменных величин оказалось по значению выше того вклада, который Архимед внёс в разработку математических проблем. Он приблизился к анализу бесконечно малых величин. Наряду с широким использованием математики в прикладных целях и применением её для разрешения проблем в области физики и механики вновь обнаружилась тенденция приписывать числа особые, сверхъестественные качества.
|
|
|
Завершающий период (150 - 60 до н.э.). К самостоятельным достижениям римской математики можно отнести лишь создание системы грубо приближенных вычислений и написание нескольких трактатов по геодезии. Наиболее значительный вклад в развитие античной математики на заключительном этапе внёс Диофант. Использовав, видимо, данные египетских и вавилонских математиков, он продолжил разработку методов алгебраических исчислений. Наряду с усилением религиозно-мистического интереса к числам продолжалась также разработка подлинной теории чисел. Этим занимался, в частности, Никомах Герасский. В целом в условиях острого кризиса рабовладельческого способа производства и перехода к феодальной формации в математике наблюдался регресс.
История математики в эпоху средневековья.
Эпоха средних веков длилась на протяжении IV - XIV вв. Средневековье характеризовалось в Европе закатом классической греко-римской культуры и резким усилением влияния церкви на всю духовную жизнь общества. Свое название «средние века» данный исторический период получил от своих современников в христианской Европе, как период между первым и вторым пришествиями Бога. Ожидание скорого конца света накладывало отпечаток на образ жизни и мышления людей. Интересы средневекового человека были направлены не на внешний мир, а внутрь себя, служа одной главной цели - спасению души.
|
|
|
С точки зрения развития науки выделяют три периода Средневековья: раннее Средневековье (VI - IX вв.) - упадок образования, всеобщее одичание, средний период (X - XI вв.) - переводы античных классиков, появление первых университетов, позднее Средневековье (XII - XIV вв.) - высокий уровень образованности, расцвет науки и искусства, подготовка эпохи Возрождения.
В эту эпоху философия тесно сближается с теологией (богословием), фактически становится ее «служанкой». «Природа наполнена чудесами, поэтому ни о каких ее объективных закономерностях не может быть и речи», - утверждали философы Средневековья. В системе такого мировоззрения естествознание лишается своего действительного предмета, реальных целей и задач. Естествознание становится схоластическим, задачей которого теперь является обоснование христианских догм, стремление увидеть в природе символы Бога.
|
|
|
Для средневековой Европы стал типичен расцвет астрологии, алхимии, магии, кабалистики, других проявлений оккультизма, тайного знания.
Пока европейская христианская наука переживала длительный период упадка со второй половины VIII в. научное лидерство переместилось из Европы на Ближний Восток.
В истории науки этого периода известны такие имена арабских ученых, как Мухаммед аль-Баттани (850 - 929) - астроном, составивший новые астрономические таблицы, Ибн-Юнас (950 - 1009), достигший заметных успехов в тригонометрии и сделавший немало ценных наблюдений лунных и солнечных затмений, Ибн аль-Хай-сам (965 - 1020), получивший известность своими работами в области оптики, Ибн-Рушд(1126 - 1198) - виднейший философ и естествоиспытатель своего времени, Ибн-Сина (Авиценна)(980 - 1037) - ирано-таджикский философ, ученый-медик и врач, Омар Хайям (ок. 1048 - ок. 1122) - ирано-таджикский математик, астроном, поэт и мыслитель.
В XI веке страны Европы пришли в соприкосновение с богатствами арабской цивилизации, а переводы арабских текстов стимулировали восприятие знаний Востока европейскими народами. Большую роль в подъеме западной христианской науки сыграли университеты (Болонский, Парижский, Сорбонский, Пражский, и др.), которые стали образовываться начиная с ХII века. И хотя эти университеты первоначально предназначались для подготовки духовенства, но в них уже тогда в рамках подготовительного факультета, именовавшегося «семь свободных искусств античности» начинали изучаться дисциплины математического и естественнонаучного направления: арифметика, геометрия, музыка, астрономия, грамматика, риторика, диалектика (искусство вести диспуты). Данные дисциплины были урезаны до прямого служения церкви (например, вычисление дат церковных праздников, музыкальное сопровождение службы, систематизация догматов и т.д.). Впоследствии данный факультет стали называть философским. Основными факультетами первых университетов являлись медицинский, юридический и теологический. Теологический факультет считался высшим факультетом.
В области математики в эпоху Средневековья существовали два главных направления развития: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.
Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и XVI веках математики Южной Германии. Они разработали несколько систем символов, более удобных для записи математических действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к понятию логарифма.
Так же были очевидны успехи тригонометрии, явившиеся следствием развития астрономии. Факты тригонометрии были восприняты, как и другие факты математики, в большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле зрения европейских математиков оказывались достижения астрономов и математиков, как Византии, так и более поздней арабской науки.
Наибольший вклад в развитие математики в этот период внесли следующие деятели.
В 1202 году Европа получила первый собственный учебник арифметики для широкого читателя, «Книга Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180-1240). Арифметике он учился в Алжире у местных мусульман. Позднее Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «Книгу квадратов». В них впервые были изложены на латыни правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи. В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб. Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями». Завершается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкой к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.
В конце XV века бакалавр Парижского университета Н. Шюке, помимо дробного показателя степени, ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов образовано путем сокращения слов. Например, m - сокращение слова minus. Знаком корня служит Rxот слова radix, корень, знаком сложения - р.
В Англии развивал теорию ученый богослов Роберт Гросетест («Головастый»), епископ Линкольна (1175-1253). Он начал суммировать бесконечные ряды чисел и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов - медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки. Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин, вторым после Архимеда, на четыре столетия опережая Ньютона.
В 1461 году в Европе появилось сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный как Региомонтан.
В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае геометрических несоизмеримостей, и прилагая алгебру к решению геометрических задач. Тем самым было открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач.
Региомонтан обогатил понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно области были достигнуты первые успехи - решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени.
Региомонтан продолжил начатую ранее другими учеными работу по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таблица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в европейскую практику тригонометрические функции, получившие в XVII веке названия тангенса и котангенса, составив таблицу их значений.
Период переменных величин
Период математики переменных величин длился от начала XVII в. до середины XIX в. Он отличается введением в математику функций и их изучением. Введение переменных величин в геометрию приводит к созданию аналитической геометрии. Для изучения функциональных зависимостей создается дифференциальное и интегральное исчисление. В этот период складываются почти все научные дисциплины в качестве классической основы современной математики. Поэтому его называют также «периодом высшей математики».
Условно XVII-XVIII века называют Новым временем. В Европе в это время укреплялся новый общественный строй - капитализм. Новое время было и эпохой научной революции. Прежде всего, изменилась концепция мира в целом. В трудах Коперника, Кеплера утвердилась и усовершенствовалась гелиоцентрическая система мира. Благодаря Галилею оформилась новая механика. Наиболее заметных достижений достигла оптика благодаря открытию зрительной трубы, телескопа, микроскопа. Были изобретены часы с маятником, барометр, термометр.
Открытие научных приборов и их совершенствование расширило возможности и точность научных измерений. В XVII веке в развитии математики было сделано столько, сколько не было сделано со времен античности. Математические исследования расширились, возникли новые разделы науки. Создание аналитической геометрии и анализа произвело в математике подлинную революцию.
К концу XVI в. математика складывалась из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Была введена удобная десятичная запись чисел, до высокой степени доведена техника вычислений. Но это была по преимуществу математикой постоянных величин. В XVII веке в физико-математической картине мира на первое место выдвигались законы, которые представляли собой аналитически выраженные функциональные зависимости между совместно изменяющимися величинами. Вспомним открытую Кеплером зависимость интенсивности света от расстояния до его источника, закон Галилея о движении тел в пустоте, закон Торричелли, закон Бойля-Мариотта, закон Гука о растяжении пружины и др. Таким образом, преобладающее значение в разработке физики приобрело измерение величин, поиск законов, выражающихся формулами алгебры. Отныне математика переходит к исследованию переменных величин и функций, как аналогов механического движения и любого количественного изменения вообще.
В тесном взаимодействии математики и смежных наук вырабатывались методы бесконечно малых (инфинитезимальные методы). Для создания исчисления бесконечно малых в математике XVII в, сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры, введение в математику переменных величин, усвоение метода неделимых древних греков, идей Архимеда, накопление методов решения задач на вычисление площадей и объемов, нахождения касательных и экстремумов. В создании анализа бесконечно малых принимали участие многие ученые, начиная от Кеплера и Галилея.
Новый мощный толчок развитию всей математики сообщил Рене Декарт (1596-1650), выдающийся французский философ, математик, физик и физиолог. Декарт искал общий метод мышления, который позволял бы делать открытия и выявлять истину в науках. Единственной наукой о природе, обладавшей систематическим изложением, была тогда механика, которая основывалась на математике. Все явления природы Декарт трактовал как перемещения делимых и подвижных частей трехмерно протяженной материи. По мнению Декарта, математика должна была стать наиболее важным средством для понимания мира.
Свою новую математику Декарт называл всеобщей. Ее изложение содержится в единственном печатном труде по математике - «Геометрия» (1637). «Геометрия» являлась настольной книгой всех творческих математиков. Тем не менее, она не является трактатом по геометрии. Значительную ее часть составляет теория алгебраических уравнений. Заслуга Декарта в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала XVII в. к геометрии греков. Это явилось началом современной аналитической геометрии.
В «Геометрии» Декарт впервые ввел понятие переменной величины и функции. Для представления общей непрерывной величины Декарт пользовался геометрией. Он построил исчисление отрезков: представлял любые величины и составленные из них выражения отрезками, в отличие от геометрической алгебры греков. Отрезки обозначались буквами: данные - начальными буквами алфавита a, b, cи т. д. неопределенные количества - последними буквами х, у, zи т. д.
Все задачи математики, по Декарту, могут быть выражены с помощью уравнений. Единственный общий метод решения уравнений - построение их корней, как отрезков - координат точек пересечения некоторых плоских кривых.
Координаты появились еще в древности, например, широта и долгота в «Географии» Птолемея. Другой вид координат - отрезки, зависимости между которыми («симптомы») выражали определяющие свойства этих кривых. Слово «координаты» ввел Лейбниц только в 1692 г.
В «Геометрии» Декарта нет «декартовых осей», не выведены уравнения прямой линии и конических сечений. Он чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат; вообще говоря, наклонных. Отрицательные абсциссы не рассматривались. Хотя Декарт их истолковывал как противоположно направленные отрезки. «Истинные» (действительные) корни он подразделял на «явные» (положительные) и «неявные» или «ложные» (отрицательные). Также у него существовали «воображаемые» корни, как недействительные корни, которые можно вообразить себе в числе, требуемом для справедливости основной теоремы алгебры.
Декарт также первым описал алгебраический способ построения касательных и нормалей к кривым.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 209; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!