Простейшие логарифмические уравнения и сводящиеся к ним

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Логарифмические уравнения и системы уравнений.

Конспект урока

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений и неравенств нам понадобятся определение и свойства логарифмов.

Определение: .

Эквивалентная запись определения или основное логарифмическое тождество:

Свойства:

1) : ,

2) , для

3) , для

4) Формула перехода к новому основанию: .

Рассмотрим логарифмическую функцию: .

Мы уже знаем её область определения: , так как показательное уравнение (урок «Логарифмы») не имеет решений при .

Рассмотрим графики логарифмической функции при основании, большем 1, и основании от 0 до 1:

Графики иллюстрируют такие свойства логарифмической функции:

1) .

2) При функция монотонно возрастает на всей области определения (обратите внимание на сходство с показательной функцией).

При функция монотонно убывает на всей области определения.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: ( ). Нарисуем на координатной плоскости график логарифмической функции. Решением этого уравнения будет пересечение этого графика с горизонтальной прямой .

Мы видим, что при любом данное уравнение имеет единственное решение (так как логарифмическая функция монотонна). Найти решение этого уравнения можно, используя определение логарифма: . Но можно использовать и метод, который мы применяли для решения простейших показательных уравнений, а именно: представить правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части: . И приравнять подлогарифмические выражения.

Рассмотрим пример: . Используя определение логарифма, получим: . Чтобы решить это же уравнение вторым способом, необходимо представить правую часть в виде логарифма с основанием 2. Как это сделать? Для этого используют универсальный метод, а именно: .

Тогда . То есть в общем виде: если мы хотим представить в виде логарифма с основанием , то мы расписываем , то есть заменяем 1 на (урок «Логарифмы»). А дальше вносим множитель перед логарифмом в показатель степени (урок «Логарифмы»): .

Показательная функция определена при всех значениях переменной. А логарифмическая только при положительных: Поэтому при решении логарифмических уравнений необходимо помнить, что имеет смысл только при .

Таким образом, при решении логарифмических уравнений необходимо либо учитывать ОДЗ (проверять, входят ли полученные корни в него), либо в конце решения сделать проверку. Чаще всего выполнить проверку проще.

Любое более сложное логарифмическое уравнение решается «выливанием воды из чайника», то есть сведением его различными методами к простейшим. Этих методов немного, все они основаны на использовании определения и свойств логарифма. И все эти методы мы рассмотрели на прошлом уроке, выполняя преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Таким образом, можно выделить следующие инструменты для решения логарифмических уравнений:

1) Сведение логарифмического уравнения к простейшему.

2) Решение простейшего логарифмического уравнения.

3) Проверка корней (подставить или проверить ОДЗ).

При решении простейших логарифмических уравнений могут возникать линейные, квадратные, иррациональные, показательные уравнения – то есть все те уравнения, которые мы уже умеем решать.

Перейдём теперь к использованию перечисленных инструментов на практике.

Простейшие логарифмические уравнения и сводящиеся к ним

Пример 1

Решить уравнение: .

Мы решаем простейшее логарифмическое уравнение. Используем определение логарифма: , откуда: . Выполняем проверку:

- верно.

Обратите внимание, что при проверке мы подставляем полученные значения переменной в исходное уравнение.

Ответ: .

Пример 2

Решить уравнение: .

В левой и правой части стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, значит, можем приравнять подлогарифмические выражения:

Проверка: - верно.

Ответ: 4

Пример 3

Решить уравнение: .

Это не совсем обычное простейшее уравнение, так как в нём переменная находится в основании логарифма. Но это не должно вас пугать. Как и для обычного простейшего логарифмического уравнения, воспользуемся определением логарифма: . По определению корня, получаем: . Получили положительное число, не равное 1, – значит, оно может быть основанием логарифма.

Ответ: .

Пример 4

Решить уравнение: .

И снова не совсем обычное простейшее логарифмическое уравнение: переменная находится и в основании логарифма, и в подлогарифмическом выражении. Но суть решения от этого не меняется – используем определение логарифма: .

Выполняем проверку: – не подходит (основание логарифма не может быть отрицательным).

- верно.

Ответ: 2.

Пример 5

Решить уравнение: .

И снова используем определение логарифма:

Получили показательное уравнение, которое мы уже умеем решать. Необходимо обе части привести к одному основанию: .

Проверка: – верно.

Ответ: -1,5.

Рассмотрим решение уравнений с использованием свойств логарифмов

Пример 6

Решить уравнение: .

Необходимо свести это уравнение к простейшему. Это можно сделать двумя способами:

· перенести логарифм из правой части в левую: .

Откуда, используя свойства логарифмов: . Далее необходимо использовать определение логарифма.

· представить обе части в виде логарифмов с основанием 2.

Для этого воспользоваться рассмотренным ранее универсальным приёмом: – и свойством логарифмов: . Далее можно приравнять подлогарифмические выражения.

При решении любым из способов получится:

Проверка: – верно.

Ответ: .

Пример 7

Решить уравнение: .

В левой части стоит сумма двух логарифмов с одинаковыми основаниями, поэтому сразу преобразуем её в логарифм произведения: . Получили простейшее уравнение, которое решаем, используя определение логарифма:

Проверка:

– не подходит (под логарифмом не могут стоять отрицательные выражения).

– подходит.

Ответ: 4.

Пример 8

Решить уравнение: .

Это уравнение можно сводить к простейшему по-разному. Поскольку в левой части стоит отношение двух логарифмов с одинаковыми основаниями, напрашивается использование формулы перехода к новому основанию: . Получили иррациональное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Но можно приводить к простейшему это же уравнение и по-другому, если воспользоваться правилом пропорции: . Чтобы получить слева десятичный логарифм (а затем приравнять подлогарифмические выражения), необходимо внести 2 в показатель степени:

Проверка:

– не подходит.

– подходит.

Ответ: 4.

Пример 9

Решить уравнение: .

Как и в заданиях на преобразование выражений с логарифмами, первым делом избавимся от показателей степени под логарифмами:

Проверка: – верно.

Ответ: .

Если переменная встречается в уравнении в одном и том же выражении с логарифмом, то с помощью замены можно свести логарифмическое уравнение к одному из тех, которые мы уже умеем решать (дробно-рациональному, иррациональному, показательному и т.д.).

Пример 1

Решить уравнение: .