Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Методические указания по выполнению контрольной работ по математике

Для студентов группы Б-1з

Матрицы

Определение:

Матрицей размера m называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются: A,B,C,D…

Элементы матрицы: ,где i – номер строки;

j – номер столбца

Например:

Например, матрица размера 2*3:

Виды матриц:

ü Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей - строкой, а из одного столбца называется матрицей – столбцом, например:

А=

ü Матрица называется квадратной порядка, если число её строк равно числу её столбцов.

Например:

А= -квадратная матрица 3-го порядка

ü Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца (i= j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы

ü Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Например:

А= - диагональная матрица 3-го порядка

ü Если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей порядка, она обозначается Е.

Например:

Е=

ü Матрица любого размера называется нулевой, или нуль – матрицей, если все её элементы равны нулю.

Например:

О=

Операции над матрицами:

1) Умножение матрицы на число:

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Например :

Пусть дана матрица А= .Найти матрицу В=3А

Решение: В=3 =

Ответ: В=

Замечание: произведение матрицы на нуль есть нулевая матрица.

2) Сложение матриц:

Матрицы складываются поэлементно.

Замечание: Слагаемые матрицы должны быть одинакового размера!

Например:

Дано: А=

Найти: А+В

Решение: А+В=

Ответ:

Замечание: А+О=А

3) Вычитание матриц:

Матрицы вычитаются почленно.

Разность двух матриц можно определить через предыдущие операции: А-В=А+(-В)

Пример 1:

Даны две матрицы

Найдите матрицу С=-4А-2В

Решение:

Ответ:

4) Умножение матриц:

Умножение матрицы А на матрицу В определено. когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, говорят, матрица А согласованная с матрицей В.

Произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i – той строки первой матрицы на соответствующие элементы j – го столбца второй матрицы:

Пример 2:

2*3 3*3 2*3

Каждый элемент итоговой матрицы удобней рассчитать отдельно:

Ответ:

Замечание: Переместительный (коммуникативный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется: А

5) Возведение в степень:

Операция возведения в степень выполняется только для квадратных матриц.

Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А:

Например:

Найти

Ответ:

6) Транспонирование матрицы:

Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Пример:

Если дана матрица А= ,то транспонированная матрица

Определитель

Определение:

Определителем матрицы первого порядка называется элемент этой матрицы:

Для матрицы определитель

Определителем матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Пример:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу Сарруса (правилу треугольников):

Пример 3:

Ответ: 5

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Алгоритм решения:

1) Находим главный определитель системы:

2) Находим определители при неизвестных, т. е. вспомогательные определители: , полученные из главного определителя заменой j- ого столбца столбцом свободных членов.

3) Находим по формулам Крамера:

4) Записываем ответ.

Возможны случаи:

1) Если , то система уравнения имеет единственное решение.

2) Если и каждый , то система имеет бесконечное множество решений.

3) Если и хотя бы один из определителей , то система решений не имеет.

Пример 1:Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Находим главный определитель системы:

3) , значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Пример 2:Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Находим главный определитель системы:

3) и хотя бы один из определителей , то система решений не имеет.

Ответ: система решений не имеет

Пример 3:Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Находим главный определитель системы: система имеет единственное решение

3) Находим по формулам Крамера:

Ответ: (2;7)

Пример 4:Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

I. Находим главный определитель системы:

=>система имеет единственное решение

II. Находим определители при неизвестных, т. е. вспомогательные определители: , полученные из главного определителя заменой j- ого столбца столбцом свободных членов.

, ,