Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается следующим образом: для каждого из чисел определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Произвольное взаимно-однозначное отображение множества первых натуральных чисел на себя называется подстановкой -го порядка. Подстановка может быть записана с помощью двух перестановок.

Пример перестановки: (1 2 3 4) (2 4 1 3);

Пример транспозиции: (1 2 3 4) (4 2 3 1);

Пример инверсии: перестановка (2 4 1 3) содержит три инверсии элементов 2 и 1, 4 и 1, 4 и 3.

Задачи для решения

1 Указать транспозиции, с помощью которых можно

а) от перестановки (10 1 2 8 7 4 3 6 9 5) перейти к перестановке   (8 9 5 1 10 7 2 3 6 4)

б) от перестановки (9 5 1 8 3 7 4 6 2) перейти к перестановке       (9 8 7 6 5 4 3 2 1)

в) от перестановки (2 4 6 … 2n 1 3 5… 2n-1) перейти к перестановке    (2n 2n-1…. 4 3 2 1).

2 Найти число инверсий в следующих перестановках

а)( 8 1 5 9 7 4 3 6 2);

б) (10 5 3 8 4 7 2 6 1 9);

в) музыка, если в качестве исходной принимается перестановка букв       (а з к м у ы).

Определителем n -го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется с плюсом, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус - в противоположном случае.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка .

Определитель квадратной матрицы А второго порядка равен числу . Диагональ  – главная,  – побочная.

Пусть дана квадратная матрица А третьего порядка .

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

Минором  называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Число  называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij.

Теорема 1 (разложение определителя по строке или столбцу):

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема 2: Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Теорема 100: Определитель, в котором все элементы одной из строк (столбцов), кроме одного, равны нулю равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример 1 Найти определитель матрицы A:

Решение:

Задачи для решения

1 Найдите определитель 2-го порядка:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2 Найдите определитель 3-го порядка:

а) ;  б) ;          в) ;

г) ;    д) ;          е)

ж) ;        з) ;         и) ;

к)          л)      м)

3 Найдите определитель 4-го порядка:

а)   б)   в)   г)

д)   е)

4 Найдите определитель 5-го порядка:

а) б) в)

5 Решите уравнения, пользуясь соответствующими свойствами определителя (не применяя правило Саррюса):

а)      б)   в)

г)         д)        е)

6 Вычислить определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

а)    б)    в)

7 Путем разложения по элементам третьей строки вычислить:

а) ; б) ; в)

Мы поможем в написании ваших работ!