Дискретное преобразование Фурье
Гармонический анализ периодических сигналов
Многие процессы в организме человека носят периодический характер: биение сердца, дыхание, биоритмы мозга, и т.п.
Гармонический анализ и спектральное представление периодических сигналов, то есть их представление рядами Фурье, разложение на гармоники и определение амплитудно-частотных и фазо-частотных спектров, является одним из основных способов преобразования аналоговых сигналов в цифровой вид. Так называемая «оцифровка» сигналов очень актуальна, так как в настоящее время практически вся информация обрабатывается, передается и хранится в цифровой форме. Спектральное представление сигналов позволяет значительно сохранить время на обработку и передачу информации, а также сократить объем памяти, необходимой для хранения информации.
Теория рядов Фурье, ортогональных функций и дискретное преобразование Фурье находят широкое практическое применение в различных областях медтехники, связанных с обработкой, передачей и хранением информации, в частности в оборудовании для удаленного мониторинга пациентов как непосредственно в больнице, так и на дому после госпитализации, в системах компьютерной диагностики и многих других системах.
Понятие ортогональных функций
Непрерывные функции 
называются ортогональными на интервале ( 
), если
(1)
|
|
|
При с=1 функции называются ортонормированными, а множество функций { } – ортонормированным базисом.
Любая периодическая функция s(t) может быть представлена в виде ряда
(2)
Коэффициент сk (k=0,1,…) данного ряда находятся умножением равенства (2) слева и справа на uk(t) и интегрированием по периоду функции s(t):
(3)
Откуда, используя свойство ортогональности (1) (t0=0), находим
(4)
Примером ортонормированного базиса является следующее множество функций:
(4)
Для того, чтобы убедиться в их ортогональности, достаточно рассмотреть три следующие интеграла:
(5)
Очевидно, что условия (5) удовлетворяют условиям ортогональности (1), следовательно, функции (4) ортогональны.
Следует отметить, что свойством ортогональности обладают не только тригонометрические функции (4), но и ряд других функций. Примером ортогональных функций являются, например, многочлены Чебышева, функции Бесселя и некоторые другие специальные функции [4].
Гармонический анализ периодических функций
|
|
|
Из курса математического анализа известно, что действительная периодическая с периодом Т функция f(t), ограниченная и имеющая конечное число максимумов и минимумов и точек разрыва первого рода на некотором конечном интервале (условия Дирихле), для которой существует интеграл 
может быть разложена в ряд Фурье (то есть представлена суммой гармоник). Для функции с периодом Т это разложение имеет вид ряда
, (6)
который после преобразования представляется обычно в следующем виде
, (7)
Коэффициенты данного ряда (коэффициенты Фурье) в действительной форме определяются по известным формулам:
; 
; 
, (8)
где: w = 
- круговая частота;
n = 1, 2, 3, …
Заметим, что для вычисления коэффициентов Фурье можно использовать рассмотренные ранее численные методы интегрирования (прямоугольников, трапеций, Симпсона).
Определенные таким образом коэффициенты ряда Фурье по сути являются амплитудами гармонических составляющих (гармоник). Представление периодической функции рядом Фурье означает ее разложение на гармонические составляющие и называется гармоническим анализом. Часто бывает важно знать, каким образом зависит амплитуда гармоник от ее номера, точнее от частоты колебаний данной составляющей.
|
|
|
Амплитуды каждой гармоники ряда (6) и их фазы определяются по формулам
. (9)
Полученная совокупность амплитуд называется амплитудным спектром сигнала. Совокупность начальных фаз гармонических колебаний называется фазовым спектром. Амплитудный и фазовый спектры несут в себе всю информацию, содержащуюся в сигнале и, как правило, при кодировании занимают меньший объем.
Поскольку ряд Фурье сходится к f(t) всюду, кроме точек разрыва (в каждой точке разрыва t0 ряд сходится к значению 
), то значения амплитуд с увеличением номера гармоники убывают (стремятся к нулю) и по этой причине существует возможность ограничить число членов ряда до числа, обеспечивающего необходимую точность представления функции.
Дискретное преобразование Фурье
Название дискретное преобразование связано, прежде всего, с тем, что рассматривается разложение в ряд функций, заданных на дискретном множестве равноотстоящих точек. Для определенности будем полагать, что имеется M =2N равноотстоящих точек. Дискретное преобразование называют так же конечным, так как число членов ряда Фурье при этом ограничено.
|
|
|
Рассмотрим представление функции f(t) конечным рядом Фурье:
(10)
Для нахождения коэффициентов ряда (10) разделим участок [0; Т], то есть период функции, на M равных частей и вычислим значение функции f(t) в полученных точках ti = i*T/M, i=0,1,2,…,M. В результате получаем функцию, заданную на дискретном множестве точек. Далее, используя свойства ортогональности, вычисляем коэффициенты an, bn по формулам:
; 
(11)
Подставляя полученные значения коэффициентов в конечный ряд Фурье, получим его дискретную форму.
Замечание. При разбиении отрезка [0; Т] на М частей мы получаем (М+1) точку, т.к. i =0,1,2,…, M . Поэтому суммы в формулах (11) могут вычисляться по i от 1 до M ( 
), или по i от 0 до ( M -1) ( 
).
Пример. С помощью дискретного преобразования Фурье найти первые четыре составляющие спектра пилообразного импульсного периодического сигнала (рис.3).
 |
|
Рис. 3.
Решение. Период функции Т = 2p, следовательно, частота первой гармоники 
. По этой причине в дальнейших формулах символ ω опущен.
Для вычисления коэффициентов разделим отрезок [0; 2π] на М=16 равных частей. Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам (w =1):
. (12)
Для удобства расчетов можно составить таблицу в Excel и поместить в нее значения всех входящих в данные формулы переменных и функций (Приложение 1). В таблице используется обозначение 
Для вычисления в Excel коэффициентов по формулам (12) можно воспользоваться функцией СУММПРОИЗВ. Результаты расчетов коэффициентов Фурье по формулам (12) и амплитуд по формуле (9) первых четырех гармоник показаны таблице 1.
Таблица 1.
| a0 | 0,8835729 | А1 | 0,648467 | |
| a1 | -0,420607 |
|
| |
| b1 | 0,4935579 | А2 | 0,256543 | |
| a2 | 0,0981748 |
|
| |
| b2 | -0,237015 | А3 | 0,201529 | |
| a3 | -0,137933 |
|
| |
| b3 | 0,1469289 | А4 | 0,13884 | |
| a4 | 0,0981748 | |||
| b4 | -0,098175 |
Амплитудно-частотный спектр функции представлен на рис. 4 для w =1, 2, 3, 4. На рис.5 графически показан результат представления заданной функции суммой четырех и восьми гармоник.
Рис. 4.
Рис.5. Представление функции у = f(t) суммой четырех
и восьми гармоник
Приложение 1
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| ti | 0,00 | 0,39 | 0,79 | 1,18 | 1,57 | 1,96 | 2,36 | 2,75 | 3,14 | 3,53 | 3,93 | 4,32 | 4,71 | 5,11 | 5,50 | 5,89 | 6,28 |
| yi | 0,00 | 0,20 | 0,39 | 0,59 | 0,79 | 0,98 | 1,18 | 1,37 | 1,57 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| cost | 1,00 | 0,92 | 0,71 | 0,38 | 0,00 | -0,38 | -0,71 | -0,92 | -1,00 | -0,92 | -0,71 | -0,38 | 0,00 | 0,38 | 0,71 | 0,92 | 1,00 |
| sint | 0,00 | 0,38 | 0,71 | 0,92 | 1,00 | 0,92 | 0,71 | 0,38 | 0,00 | -0,38 | -0,71 | -0,92 | -1,00 | -0,92 | -0,71 | -0,38 | 0,00 |
| cos2t | 1,00 | 0,71 | 0,00 | -0,71 | -1,00 | -0,71 | 0,00 | 0,71 | 1,00 | 0,71 | 0,00 | -0,71 | -1,00 | -0,71 | 0,00 | 0,71 | 1,00 |
| sin2t | 0,00 | 0,71 | 1,00 | 0,71 | 0,00 | -0,71 | -1,00 | -0,71 | 0,00 | 0,71 | 1,00 | 0,71 | 0,00 | -0,71 | -1,00 | -0,71 | 0,00 |
| cos3t | 1,00 | 0,38 | -0,71 | -0,92 | 0,00 | 0,92 | 0,71 | -0,38 | -1,00 | -0,38 | 0,71 | 0,92 | 0,00 | -0,92 | -0,71 | 0,38 | 1,00 |
| sin3t | 0,00 | 0,92 | 0,71 | -0,38 | -1,00 | -0,38 | 0,71 | 0,92 | 0,00 | -0,92 | -0,71 | 0,38 | 1,00 | 0,38 | -0,71 | -0,92 | 0,00 |
| cos4t | 1,00 | 0,00 | -1,00 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | -1,00 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | -1,00 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | -1,00 | 0,00 | 1,00 |
Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 67; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!