Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
Определение. Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
векторного пространства 
, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: 
, где 
- какие угодно действительные числа.
Определение. Векторы векторного пространства 
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не равные одновременно нулю, что 
.
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
Определение. Линейное пространство называется 
-мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые из 
векторов уже являются зависимыми.
Пример. Выяснить, являются ли векторы 
, 
, 
линейно зависимыми.
Составим векторное равенство 
. Записывая 
, 
, 
в виде вектор - столбцов, получим 
Задача свелась к решению системы: 
. Решим систему методом Гаусса: 
. Следовательно, 
. Так как , то , , линейно независимы, следовательно, образуют базис.
Базис векторного пространства. Матрицы, действия с матрицами.
Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.
Теорема. Каждый вектор 
линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Теорема. Если 
- система линейно независимых векторов пространства и любой вектор а линейно выражается через , то пространство является 
, а векторы - его базисом.
Пример. Даны векторы 
, 
, 
и 
в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Покажем, что векторы , , образуют, т.е. составим векторное равенство 
и определим коэффициенты 
, 
и 
.
. Т. К.. 
, то вектора , , образуют базис.
Определим координаты вектора в этом базисе:
, 
.
Определение. Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая 
строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Виды матриц:
- Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) - столбцом.
- Матрица называется квадратной 
порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
- Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю.
- Матрица называется единичной, если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице.
- Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
Операции над матрицами:
1.Умножение м на число. Произведение матрицы 
на число 
называется матрица 
, элементы которой 
для 
; 
.
2.Сложение матриц. Суммой двух матриц и 
одинак. размера называется матрица 
, элементы которой 
для ; .
3.Вычитание матриц. Разность двух м. одинак.размера определяется через предыдущ операции: 
.
4. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц 
называется матрица 
, каждый элемент которой 
равен сумме произведений элементов 
строки матрицы на соответствующие элементы 
столбца матрицы .
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью 
квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .
6. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы – переход матрицы к матрице 
, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Пример. Выполнить действия 
.
.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 112; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!