Выполнить задания самостоятельно
Выполненные ИДЗ следует высылать на почту
s h ust_ el @ rgau-msha.ru
Повторите теоретический материал и разберите решенные примеры
Первый и второй замечательные пределы
1. Первый замечательный предел имеет следующий вид:
Этот предел может быть записан и по-другому:
или 
Этот предел «замечателен» тем, что с его помощью можно находить другие пределы.
Пример 1.
│умножим числитель и знаменатель на 5│ = 
=│постоянную вынесем за знак предела│ 
= │заменим 5х на α; если 5х→0, то и α→0│= 
=│ 
− первый замечательный предел│ = 5∙1 = 5.
2. Второй замечательный предел имеет следующий вид:
Здесь e — математическая постоянная; число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение: e = 2,718 281 828 459 045 235 .....Число e служит основанием натурального логарифма: 
. Второй замечательный предел может быть записан и в другом виде:
Этот предел, как и первый замечательный, позволяет находить другие пределы.
 |
Пример 2.
│умножим числитель и знаменатель показателя степени на 2│ 
=│ заменим 2х на α; если 2х→∞, то и α→∞│ 
│ 
как второй замечательный предел│ 
5. Использование первого замечательного предела 
при вычислении пределов.
В примере 1 было показано, как можно использовать первый замечательный предел в простейшем случае. Теперь рассмотрим несколько более сложных примеров.
|
|
|
12. Найти пределы 1) 
, 2) 
и 3) 
.
Решение.
Решение всегда следует начинать с подстановки. В данном примере во всех случаях мы имеем дело с неопределенностью вида 
.
1) Воспользуемся первым замечательным пределом в виде 
В нашем примере аргументом тангенса является 10х, поэтому необходимо, чтобы и числитель тоже был равен 10х. Умножим числитель и знаменатель на 10, а затем разобьём полученное выражение на два сомножителя. Затем вынесем постоянный сомножитель за знак предела. Тогда оставшийся предел и будет первым замечательным и, следовательно, будет равняться единице:
В примере 1 мы вводили новую переменную, а в этот раз явно новую переменную не ввели, чтобы не загромождать решение.
Все же приведем вариант с заменой переменной (различие в записи появится после третьего знака равно):
│Введем переменную α=10х. Так как при х→0 и 10х→0,то и α→0│= 
В следующих примерах проводить замену в явном виде не будем.
2) В этом случае будем использовать первый замечательный предел, записанный в виде и в виде
=
=│Аргумент синуса 5х, поэтому числитель и знаменатель умножим на 5х│=
|
|
|
= 
=│ Разобьём полученное выражение на два сомножителя│=
= 
=│Используем теорему о пределе произведения│=
= 
│Мы получили произведение двух пределов. Первый предел является первым замечательным и, следовательно, равен единице; второй находим так же, как предыдущий предел│=
=1 
3) 
=│Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение│=
=
=│В знаменателе теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов│=
=│ Используем теорему о пределе произведения│=
= 
│В первом сомножителе проведем подстановку;
во втором будем действовать по той же схеме, что и в двух предыдущих случаях: умножим числитель и знаменатель на 7 и т.п. │=
Ответ: 0,3; 2,5; 
.
6. Использование второго замечательного предела 
или 
при вычислении пределов.
В примере 2 было показано, как можно использовать этот замечательный предел в достаточно простом случае. Рассмотрим еще два примера.
13. Найти пределы 1) 
, 2) 
.
Решение.
1) =
=│ В показателе стоит сумма, следовательно, можно разбить выражение под знаком предела на произведение │=
= 
│ Используем теорему о пределе произведения│=
= 
=│Мы получили произведение двух пределов. Если х→∞,то 
по теореме о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Тогда второй предел будет равен 13, т.е.1. В первом же получаем неопределенность вида 1∞. │=
|
|
|
= 
=
=│Используем второй замечательный предел. Для этого выражение в скобках запишем так: 
. Сравнив эту скобку с соответствующей скобкой во втором замечательном пределе, замечаем, что все отличие заключается в коэффициенте 
перед х в знаменателе. Следовательно, надо, чтобы и в показателе тоже было 
. Для этого показатель умножим и разделим на 
и затем воспользуемся свойствами степеней│= 
=
=│Знак предела и непрерывную функцию можно менять местами│=
=│Наконец, используем второй замечательный предел│ 
.
2) 
= 
=
=│По свойству логарифмов│= 
=
=│Знак предела и непрерывную функцию можно менять местами│=
= 
=│Выражение в скобке отличается от второго замечательного предела только коэффициентом 6. Следовательно, надо, чтобы в показателе тоже был этот коэффициент около х. Далее действуем как в предыдущем примере │=
Ответ: 
;6.
Выполнить задания самостоятельно
| 77. а) | б)  ;
| в)  ;
| |||
| г)
| д)  ;
| е)  ;
| |||
| ж) | з)  ;
| и)  ;
| |||
| к) | л)  ;
| м)  ;
| |||
78. а)  ;
| б) | в)  ;
| |||
г)  ;
| д)
 Мы поможем в написании ваших работ! | ||||
;
;
;
;
;
;