Произведение равно нулю , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:
tg x - 1 = 0; tg x = 1; х = 
.
sin x - 1 = 0; sin x = 1; х = 
.
x = 
- не принадлежат области допустимых значений данного уравнения, значит, не являются его корнями .
Ответ: х = .
Пример №2: Решить уравнение: sin 6 x cos 2 x = sin 5 x cos 3 x .
Решение:
Преобразуем обе части данного уравнения , воспользовавшись формулой
sin a · cos b = 
( sin ( a + b) + sin ( a - b )) , получим :
( sin 4х + sin 8х ) = ( sin 2х + sin 8х );
Умножим обе части уравнения на 2 , перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные слагаемые:
sin 4х + sin 8х - sin 2х - sin 8х = 0; sin 4х - sin 2х = 0;
Преобразуем левую часть уравнения , воспользовавшись формулой
sin x - sin y = 2 sin 
cos 
, получим : 2 sin x cos 3x = 0;
Разделим обе части уравнения на 2: sin x cos 3 x = 0;
| х |
| 0 |
| у |
Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:
sin x = 0; х = p k , k Î Z .
cos 3 x = 0; 3 x = 
.
Ответ: х = p k , .
Пример №3: Решить уравнение: 1 + cos x + cos 2 x = 0.
Решение:
Воспользуемся формулой 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x .
2 cos 2 x + cos x = 0;
Вынесем за скобки общий множитель cos x , получим: cos x (2 cos x +1 ) = 0;
Произведение равно нулю , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:
cos x = 0; х = 
.
2 cos x + 1 = 0 ; cos x = 
; х 1,2 = ± arccos 
+ 2 p k , k Î Z ;
х 1,2 = ± 
+ 2 p k , k Î Z .
Ответ: х = 
х 1,2 = ± + 2 p k , k Î Z .
Пример №4: Решить уравнение: sin x - sin 2 x + sin 3 x - sin 4 x = 0 .
Решение:
Преобразуем это уравнение следующим образом:
( sin x + sin 3x ) - ( sin 2x + sin 4x ) = 0;
Преобразуем каждую из сумм по формуле sin x + sin y = 2 sin cos , получим : 2 sin 2x cos x - 2 sin 3x cos x = 0;
Вынесем общий множитель 2 cos x за скобки: 2 cos x ( sin 2 x - sin 3 x ) = 0;
Преобразуем выражение в скобках , воспользовавшись формулой
sin x - sin y = 2 sin cos , получим : 2 cos x 2 sin 
cos 
= 0;
Синус является нечетной функцией , то есть sin = - sin 
.
- 4 cos x sin cos = 0;
Разделим обе части уравнения на - 4: cos x sin cos = 0;
Произведение равно нулю , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:
cos x = 0; х = .
sin = 0; = 
х = 2 p k , k Î Z .
cos = 0; 
Ответ: х = 
х = 2 p k ,
Пример №5: Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Решение:
Преобразуем sin x и cos x по формулам синуса двойного угла и косинуса двойного угла : sin x = 2 sin 
cos ; cos x = 1 - 2 sin 2 , выполним замены в данном уравнении , получим:
2 sin cos + 1 - 2 sin 2 - 1 = 0; 2 sin cos - 2 sin 2 = 0;
Вынесем общий множитель 2 sin за скобки , разделим обе части уравнения на 2 , получим:
2 sin ( cos - sin ) = 0; sin ( cos - sin ) = 0;
Произведение равно нулю , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:
sin = 0; = p k , х = 2 p k , k Î Z .
cos - sin = 0;
Полученное тригонометрическое уравнение является однородным первой степени относительно sin и cos .
Разделим обе части этого уравнения на cos ¹ 0, получим:
1 - tg = 0; tg = 1; = arctg 1 + p k ; = 
+ p k ; х = 
k Î Z
Ответ: х = 2 p k , х = 
k Î Z .
Упражнения:
№1. Решить уравнения:
1) sin 2x = 
; 6) cos 
= - 1 ; 11) ctg 3x = 
;
2) sin 
= 
; 7) cos 
= 
; 12) ctg 
= - 1 ;
3) sin 
= 
; 8) cos 
= 0; 13) tg 
= 
;
4) 2 sin 
= - 1 ; 9) 3 cos x = 2; 14) tg 
= 3;
5) sin 
= 
; 10) cos 
= 1; 15) ctg 
= 
.
№2. Решить уравнения:
1) 4 sin 2 x + 11 sin x - 3 = 0; 11) 3 sin 2 x + sin x cos x = 2 cos 2 x;
2) tg 2 x + 2 tg x - 3 = 0; 12) 9 sin x cos x - 7 cos 2 x = 2 sin 2 x;
3) ctg 2 2x - tg 
- 2 = 0; 13) 4 sin 2 x = 3 + sin 2x;
4) 2 sin 2 x - 5 cos x +1 = 0; 14) cos 2x = 2 cos x - 1;
5) 5 sin 2 2x + 6 cos 2x - 6 = 0; 15) sin x - cos x = 0;
6) cos 2 x + 3 sin x = 3; 16) sin 3x - cos 3x = 0;
7) 4 cos 2 3x - 3 = 0; 17) sin 4 
- cos 4 = 
;
8) 3 sin 2 x - cos 2 x = 1; 18) 1 - cos x = 2 sin 
;
9) 2 tg 2 5x + 3 tg 5x - 2 = 0; 19) sin 4x + sin 2 2x = 0;
10) sin 4 x - cos 4 x = 0,5; 20) 4sin x + 3cos x = - 3.
№3. Решить уравнения:
1) (sin 2x - 1) tg x = 0; 11) cos 4x cos 2x = cos 5x cos x;
2) 2 cos x ctg 3x = ctg 3x; 12) sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x;
3) sin 3x + sin x = 0; 13) cos 2x cos 3x = sin 6x sin x;
4) cos (3x - 2 p ) + sin = 0; 14) tg 
+ tg x + 2 = 0;
5) cos 2x - cos x = 0; 15) tg x - 2 ctg x = 1;
6) cos 3x = sin x; 16) 4 sin 2x - 3 cos 2x = 3;
7) tg x = tg 2x; 17) 1 - sin 2 x + sin 2 2x = 0;
8) tg 2x - 3 tg x = 0; 18) tg 4 x - tg 2 x - 12 = 0;
9) 3 cos x + 5 sin = - 1; 19) (2 sin 3x + 
)(tg x - ) cos = 0;
10) tg 5x = tg 3x; 20) tg + tg 
= 2 ctg x .
21. Простейшие тригонометрические неравенства.
sin x £ a
sin x £ a Û - p - arcsin a + 2 p k £ x £ arcsin a + 2 p k , k Î Z .
sin x ³ a
sin x ³ a Û arcsin a + 2 p k £ x £ p - arcsin a + 2 p k , k Î Z .
cos x £ a
cos x £ a Û arccos a + 2 p k £ x £ 2 p - arccos a + 2 p k , k Î Z .
cos x ³ a
cos x ³ a Û - arccos a + 2 p k £ x £ arccos a + 2 p k , k Î Z .
tg x £ a Û 
+ p k < x £ arctg a + p k , k Î Z .
tg x ³ a Û arctg a + p k £ x < 
+ p k , k Î Z .
ctg x £ a Û arcctg a + p k £ x < p + p k , k Î Z .
ctg x ³ a Û p k < x £ arcctg a + p k , k Î Z .
Пример №1: Решить неравенство: sin x ³ .
Решение :
sin x ³ a Û arcsin a + 2 p k £ x £ p - arcsin a + 2 p k , k Î Z .
arcsin + 2 p k £ x £ p - arcsin + 2 p k , k Î Z ;
+ 2 p k £ x £ p - 
+ 2 p k , k Î Z ;
+ 2 p k £ x £ 
+ 2 p k , k Î Z .
Ответ : + 2 p k £ x £ + 2 p k , k Î Z .
Пример №2: Решить неравенство: cos 2 x ³ 
.
Решение :
cos x ³ a Û - arccos a + 2 p k £ x £ arccos a + 2 p k , k Î Z .
- arccos 
+ 2 p k £ 2x £ arccos + 2 p k , k Î Z ;
- 
+ 2 p k £ 2x £ + 2 p k , k Î Z ;
- 
+ 2 p k £ x £ 
+ 2 p k , k Î Z .
Ответ : - + 2 p k £ x £ + 2 p k , k Î Z .
Пример №3: Решить неравенство: 3 tg 
< 
.
Решение:
Разделим обе части неравенства на 3: tg < 
;
Воспользуемся нечетностью тангенса:
tg = - tg 
; - tg < ;
Разделим обе части неравенства на - 1: tg > - ;
Воспользуемся формулой решений неравенства tg x ³ a :
arctg a + p k £ x < + p k , k Î Z .
arctg 
+ p k £ 
< + p k , k Î Z;
+ p k £ < + p k , k Î Z;
Прибавим ко всем частям неравенства 
:
+ p k £ 
< 
+ p k , k Î Z;
+ p k £ < 
+ p k , k Î Z;
Умножим все части неравенства на 2:
+ 2 p k £ х < 
+ 2 p k , k Î Z;
Ответ: + 2 p k £ х < + 2 p k , k Î Z;
Формулы тригонометрии
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 231; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!