Графический способ решения уравнений

Конспекты по математике

Тема: «Функции, их свойства и графики. Показательная, логарифмическая функции»

1. Показательная функция, ее свойства и графики.

Во многих отраслях науки и техники при изучении самых различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвующими в процессе. Рассмотрим примеры.

Пример 1: С изменением высоты h над уровнем моря атмосферное давление p изменяется по закону , где p₀ - давление на уровне моря, а - постоянная ( const ).

Пример 2: Рост древесины происходит по закону: , где t - время, А₀ - начальное количество древесины при t = 0, А - изменяющееся со временем количество древесины, а , k - постоянные ( const).

Пример 3: Размножение бактерий в какой-либо культуре происходит по закону: , где t - время, у₀ - начальное количество бактерий при t = 0 , у - изменяющееся со временем количество бактерий, а , k - постоянные ( const ).

Пример 4: Распад радия протекает по закону , где t - время, х₀ - начальное количество радия при t = 0, х - изменяющееся со временем количество радия, а , k - постоянные ( const).

В приведенных примерах мы имеем дело с процессами, носящими общее название «процессы органического роста». Если отвлечься от физического смысла переменных, участвующих в процессах органического роста и обозначить их х и у, то получим формулу , где с , а , k - постоянные (const). Мы рассмотрим простейший случай: , с = k = 1 .

Определение: Функция вида , где а > 0, а ¹ 1, называется показательной функцией.

Замечание: При а = 1 функция является постоянной, так как .

Свойства показательной функции , а > 0 , а ¹ 1

1) при 0 < а < 1 ;

2) при а > 1 а = 2 .

1. Областью определения функции являются все действительные числа, так как положительное число можно возвести в степень с любым действительным показателем: .

2. Множеством значений функции являются положительные числа, так как при возведении положительного числа в степень с любым действительным показателем получается положительное число: .

Вывод: График показательной функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

3. Функция не является ни четной ни нечетной: , , f ( – х)¹ f (х), f ( – х)¹ – f ( х).

4. Функция является монотонной:

1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;

2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.

Замечание:

1) При возведении в степень правильной дроби, чем больше показатель степени, тем меньше результат.

2) При возведении в степень числа, большего единицы, чем больше показатель степени, тем больше результат.

Функция является обратимой, так как она монотонна.

6. Нулей функции нет, так как уравнение у = 0 , то есть корней не имеет.

7. Промежутки знакопостоянства: при , так как

при

8. Функция ограничена снизу, так как при .

9. Любая показательная функция проходит через точку (0; 1) , так как при

х = 0 .

Замечание:

1) При а > 1функция возрастает тем быстрее, чем больше а;

2) При 0 < а < 1 функция убывает тем быстрее, чем меньше а.

- 3

- 2

- 1

0 < а < 1

х	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3
у	8	4	2	1

а > 1 а = 2

х	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3
у				1	2	4	8

Упражнения:

1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве действительных чисел R:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Показательные уравнения.

Определение: Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

1) , а > 0 , а ¹ 1

На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения сводится к решению уравнения f( x)=0:

Пример: Решить уравнение: .

Решение:

; 1 = 2⁰; ;

; ; ;

; ; х₁= 2; х₂= 3.

Ответ: х₁= 2; х₂= 3.

Упражнения: Решить уравнение :

1. а = 2 f ( x)= x² - 40 x + 300;

2. а = 5 f ( x)= ( x²+ x - 2)(3 - x);

3. а = 3 ;

4. а = 2 f ( x)= x² - 7 x + 12;

5. a = 0,5 .

2) , а > 0 , а ¹ 1

Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. В этом случае корнями уравнения будут корни уравнения .

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ; ;

; ; х₁= ; х₂= 1.

Ответ: х₁= ; х₂= 1.

2) .

Решение: ; 128 = 2⁷;

; ; 6 х = 7; х = .

Ответ: х = .

3) .

Решение:

; ; ; ;

; ; ;

; ; х₁= - 1; х₂= 3.

Ответ: х₁= - 1; х₂= 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12.

3) , а > 0 , а ¹ 1 , b > 0 , b ¹ 1 , а ¹ b

Уравнение решается делением обеих частей на .

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: Разделим обе части уравнения на .

; ; ; х - 2 = 0; х = 2.

Ответ: х = 2.

2) .

Решение: ; ; ;

Умножим обе части уравнения на .

; ; ; х - 3 = 0; х = 3.

Ответ: х = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

4) , а > 0 , а ¹ 1

Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k _i - наименьшее из чисел k₀ , k₁, k₂ , … , k_п.

Пример:

1) .

Решение: ; ; ; ; ; ; х = 4.

Ответ: х = 4.

2) .

Решение:

; ;

; ; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.

Ответ: х = 0.

3) .

Решение:

; ;

; ; ;

; ; ; ; .

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

5) , а > 0 , а ¹ 1

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂ . После этого решение уравнения сводится к решениюдвух уравнений: , .

Пример:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

; ; у₁= - 4; у₂= 2;

- уравнение корней не имеет, так как ;

; х = 1.

Ответ: х = 1.

2) .

Решение:

; ; ;

; ; ;

; ; у₁= 1; у₂= 3;

; х² - 1 = 0; х²= 1; х₁ = - 1; х₂ = 1;

; х² - 1 = 1; х²= 2; х₃ = ; х₄ = .

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 1; х₃ = ; х₄ = .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) .

6) , а > 0 , а ¹ 1, b > 0 , b ¹ 1.

Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на , получим: .

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂ и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения и .

Пример: .

Решение: ; ;

Разделим обе части уравнения на :

; ;

; ; ;

; ; у₁= ; у₂= 1;

; х₁ = 1; ; х₂ = 0.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 0 .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Графический способ решения уравнений

Уравнение можно рассматривать как задачу об отыскании таких значений переменной х , при которых значения двух данных функций равны.

Рассмотрим уравнение вида . Графический способ решения такого вида уравнений заключается в отыскании приближенных значений абсцисс точек пересечения графиков функций и в одной и той же системе координат.

х₂

х₁

- 3

- 2

- 1

Пример: Решите графически уравнение: .

Решение:

у = х²

х	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3
у	9	4	1	0	1	4	9

х	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3
у				1	2	4	8

Ответ: х₁ » - 0,7; х₂= 2.

Упражнения: Решите графически уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

3. Показательные неравенства.

Определение: Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции : показательная функция возрастает при и убывает при .

Пример: Решить неравенства:

1. .

Решение: .

Ответ: .

2. .

Решение: ;

а = 1> 0 ветви параболы направлены вверх;

х ²+ 3х = 0; ;

- 3

Ответ:

3. .

Решение:

; ; ; ; ;

; ; .

Ответ:

Упражнения: Решить неравенства:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
13.

4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество.

Необходимость возникновения нового понятия появилась из практической потребности при решении конкретных задач.

- 3

- 2

- 1

Задача: Найти показатель степени с , в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить число b :

а ^с= b

2 ^с = 2 Þ с = 1;

2 ^с = 3 Þ с = 1,…;

2 ^с = 4 Þ с = 2;

2 ^с = 7 Þ с = 2,…;

2 ^с = 8 Þ с = 3;

Определение: Логарифмомчисла b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить число b.

Вывод: .

- основное логарифмическое тождество.

Замечание:

Логарифмы чисел, вычисленные по одному и тому же основанию, образуют систему логарифмов.
Систему логарифмов по основанию 10 называют системой десятичных логарифмов. Обозначение: .
Систему логарифмов по основанию е » 2,718281828459045 называют системой натуральных логарифмов. Обозначение: .

Пример:

1. Чему равен ?

Решение: .

Ответ: .

2. При каком основании ?

Решение: .

Ответ: .

3. Найти число, логарифм которого при основании 64 равен .

Решение: .

Ответ: .

Упражнения: Вычислить: ;

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) .

5. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.

1) , так как .

2) , так как .

3) Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

4) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: .

5) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: .

6) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

Пример: Вычислить:

;
;
;

;

;
.

Определение: Логарифмированием данного выражения называется представление логарифма этого выражения через логарифмы входящих в него элементов.

Замечание: Сумма и разность выражений не логарифмируются.

Пример:

1. Прологарифмировать данное выражение:

1) .

Решение: .

2) .

Решение:

3) .

Решение:

2. Вычислить: .

Решение: .

Ответ: .

Определение: Потенцированием называется нахождение выражения по его логарифму. Потенцирование – это действие,обратное логарифмированию.

Пример: Пропотенцировать : .

Решение:

;

Ответ: .

Упражнения:

1. Вычислить:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8)

Прологарифмировать данное выражение:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) .

Пропотенцировать:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Найти х , если:

1) ;

2) ;

3) .

6. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.

Определение: Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической.

- показательная функция;

Û ;

- логарифмическая функция.

Область определения функции: , так как по определению
Множество значений функции: , так как показатель степени может быть любым действительным числом.

Вывод: График логарифмической функции расположен в первой и четвертой координатных четвертях.

Функция не является ни четной ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.

Функция является монотонной:

1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;

2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.

Функция является обратимой, так как она монотонна:

- логарифмическая функция;

- показательная функция.

у = 0; ; х = 1 - нуль функции.
Промежутки знакопостоянства:

1) при 0 < а < 1

;

2) при а > 1

;

Функция является неограниченной сверху и снизу.

Любая логарифмическая функция проходит через точку (1; 0) , так как при х = 1 .

Замечание: Для построения графика логарифмической функции можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой у = х.

(0 < а < 1)

х	8	4	2	1
у	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3

- 3

- 2

- 1

- 2

- 3

у = х

(а > 1)

х				1	2	4	8
у	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3

- 3

- 2

- 1

- 2

- 3

у = х

Упражнения:

Найти область определения выражения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

Постройте график функции и перечислите ее основные свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

7. Логарифмические уравнения.

Определение: Уравнения, содержащие переменную только под знаком логарифма или в основании логарифма, называются логарифмическими.

Замечание: Простейшими логарифмическими уравнениями являются уравнения вида и .

1) Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение: Û Û Û .

Ответ: .

2. .

Решение: Û Û Û .

Ответ: х = - 16.

3. .

Решение:

Û Û Û

Û Û

Ответ: х = 5.

4. .

Решение:

Û Û Û Û

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. .

2) Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.

Вывод: При решении логарифмического уравнения находят его область определения и проверяют корни на принадлежность области определения данного уравнения или делают проверку всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Þ

Þ Þ Û ;

;

; ; х₁=11; х₂= 19.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х₁=11; х₂= 19.

2. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Û

Û Þ Û Û

Û Û .

Проверка:

Ответ: х = 8.

3. .

Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Û

Û Û Þ

Þ Û Û

Û Û Û

;

; ; х₁= 6; х₂= 14.

Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.

; ;

Ответ: х₁= 6; х₂= 14.

4. .

Решение:

Û Þ Û Û ; ;

; ; х₁= - 3; х₂= 5.

Проверка:

х₁= - 3; ;

х₁= - 3 не является корнем данного уравнения, так как не существует.

х₂= 5; .

Ответ: х =5.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ; 7. ;

2. ; 8.

3. ; 9.

4. ; 10.

5. ; 11.

6. ; 12.

3) Логарифмические уравнения степени выше первой относительно логарифма.

Замечание: При решении уравнений этого типа нужно обратить внимание на преобразования вида:

1. ;

2. .

Пример: Решить уравнения:

Решение:

Û ;

Введем новую переменную : ;

;

; ; ;

; ; х₁ = 20.

; ; х₂ = 500.

Проверка:

х₁= 20;

х₂ = 500;

Ответ: х₁ = 20; х₂ = 500 .

Решение:

Введем новую переменную: у = lgx .

Û Û

Û Û Û

Û Û Û Û

; ;

; ; у₁= 2; у₂= 3;

Ответ: х₁ = 100; х₂ = 1000.

Упражнения: Решить уравнения:

;	;
;	;
;	;
;	8. ;

4) Уравнения, содержащие выражения вида

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании степени, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

При логарифмировании уравнения возможна потеря корней. Однако, если логарифмировать уравнение , обе части которого положительны на всей области определения уравнения, то потери корней не произойдет. В этом случае говорят, что уравнения и равносильны на всей области определения данного уравнения.

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

В области определения уравнения выражения, содержащиеся в обеих его частях, принимают только положительные значения. Следовательно, можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10.

Таким образом, на области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны:

Û Û Û Û Û х₁ = 0,01 или х₂ =100.