Нелинейная математическая модель гидравлического механизма
Одним из примеров нелинейной системы может служить гидравлический механизм, состоящий из золотникового гидрораспределителя 1 и нагруженного гидроцилиндра 2 (рис. 3.1). Составим математическое описание гидравлического механизма, предполагая, что питание его рабочей жидкостью осуществляется при постоянном давлении (pп = const) от источника с неограниченным расходом. Гидролинии от золотникового распределителя к гидроцилиндру будем принимать настолько короткими, чтобы в них можно было бы не учитывать потери давления и волновые процессы.
Для гидрораспределителя, когда окна распределителя имеют равные коэффициенты расхода, при нулевых перекрытиях золотника, без учета утечек и перетечек рабочей жидкости в распределителе, можно записать два уравнения расходов:
; (3.1)
, (3.2)
где Q1 – расход рабочей жидкости протекающий через левую кольцевую щель, образованную между золотником и корпусом распределителя, и втекающий в левую полость гидроцилиндра; Q2 – расход рабочей жидкости протекающий через правую кольцевую щель, образованную между золотником и корпусом распределителя, вытекающий из правой полости гидроцилиндра; mЗ – коэффициент расхода окон золотникового распределителя; bок – ширина окон во втулке (если окно, расположенное напротив бурта золотника, занимает весь периметр втулки, то bок = pdз; xз– смещение золотника от нейтрального положения; pп – давление питания в напорной гидролинии; pсл – давление в сливной гидролинии; p1 и p2 – давления в левой и правой полостях гидроцилиндра; r – плотность жидкости.
| 1 |
| 2 |
| F |
| y |
| xз |
| pп |
| pсл |
| p1 |
| p2 |
| xЗ |
| pП |
| pСЛ |
| y |
| p2 |
| p1 |
| 1 |
| 2 |
| F |
| mпр |
| Рис. 3.1. Гидравлический механизм |
Для гидроцилиндра можно записать уравнение движения поршня и уравнения расходов (втекающего и вытекающего):
; (3.3)
; (3.4)
, (3.5)
где S – рабочие площади поршня (т.е. площадь поршня минус площадь штока) в левой и правой полостях гидроцилиндра; Fтр – сила трения, действующая на поршень и шток; F – внешняя нагрузка; mпр – суммарная масса поршня, штока и приведенной массы рабочих органов, приводимых в движение штоком; y – перемещение штока (и поршня).
Силу вязкого трения будем определять по соотношению
. (3.6)
Внешнюю нагрузку будем определять по соотношению
. (3.7)
где cн – коэффициент нагрузки; y – перемещение поршня.
С учетом соотношений (3.6) и (3.7) уравнение (3.3) примет вид
. (3.8)
Система уравнений (3.1), (3.2), (3.4), (3.5) и (3.8) является нелинейной математической моделью рассматриваемого гидравлического механизма, потому что содержит нелинейные функции (3.1) и (7.2).
При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью нелинейных математических моделей часто приходится применять ЭВМ и пакеты прикладных программ, основанные на численных методах. В этом случае математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.
Для примера выполним математическое описание процессов, протекающих в гидравлической системе (рис. 3.1) в переменных состояния.
Введем обозначение
, (3.9)
где υ – скорость поршня и массы m, так как y – перемещение поршня.
С учетом формулы (3.9) система уравнений (3.1), (3.2), (3.4), (3.5) и (3.8) примет вид
. (3.10)
В качестве переменных состояний примем y, υ, p1 и p2. Подставим выражение расхода Q1 из третьего уравнения системы (3.10) в пятое уравнение м, а Q2 из четвёртого уравнения системы (3.10) в шестое уравнение системы (3.10), затем члены, содержащие производные от переменных состояний, перенесём в левые части уравнений, в результате получим систему дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 163; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!