Найти: а) канонические и параметрические уравнения

прямой a ₁ ;

б) найти угол между прямой a ₁ и прямой a ₂ ,

заданной уравнениями:

1) a₁: ;	2)a₁: ;
3) a₁: ;	4) a₁: ;
5) a₁: ;	6) a₁: ;
7) a₁: ;	8) a₁: ;
9) a₁: ;	10) a₁: ;
11) a₁: ;	12) a₁: ;
13) a₁: ;	14) a₁: ;
15) a₁: ;	16) a₁: ;
17) a₁: ;	18) a₁: ;
19) a₁: ;	20) a₁: ;
21) a₁: ;	22) a₁: ;
23) a₁: ;	24) a₁: ;
25) a₁: ;	26) a₁: ;
27) a₁: ;	28) a₁: ;
29) a₁: ;	30) a₁: .

Найти угол между прямой и плоскостью,

Точку пересечения прямой и плоскости

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , ;

26) , ;

27) , ;

28) , ;

29) , ;

30) , .

9 Даны координаты точек

Найти: а) уравнение медианы ;

б) уравнение высоты ;

в) угол между медианой и высотой ;

г) уравнение прямой, проходящей через точку

параллельно прямой

1) , , ;	2) , , ;
3) , , ;	4) , , ;
5) , , ;	6) , , ;
7) , , ;	8) , , ;
9) , , ;	10) , , ;
11) , , ;	12) , , ;
13) , , ;	14) , , ;
15) , , ;	16) , , ;
17) , , ;	18) , , ;
19) , , ;	20) , , ;
21) , , ;	22) , , ;
23) , , ;	24) , , ;
25) , , ;	26) , , ;
27) , , ;	28) , , ;
29) , , ;	30) , , .

Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Матрицы и действия с матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел

имеющая строк и столбцов.

Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной.

Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой .

Например,

Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например,

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы: a) , б) .

Решение . а) ; ;

;

б) ; ;

Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу размером , каждый элемент которой , где ; .

То есть элемент –ой строки и –го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на соответствующие элементы –го столбца матрицы .

Если определено произведение , то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно .

Задача. Даны матрицы и :

; .Найти матрицу .

Решение.

= =

Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Условием существования матрицы , обратной к квадратной матрице , является ее невырожденность (условие , где - определитель, составленный из элементов матрицы ).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение числа на минор - определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, некоторые элементы матрицы

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ;

Если квадратная матрица - не вырождена, то обратная матрица .

Задача. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение . Составим матрицы:

- матрица коэффициентов при неизвестных; - матрица неизвестных;

- матрица свободных членов.

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид . Решение матричного уравнения ,

где обратная матрица .

Найдем определитель матрицы :

Алгебраические дополнения :

; ; ;

; ;

Обратная матрица .

Решение матричного уравнения:

Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение . Из предыдущей задачи главный определитель системы .

Найдём определитель , который получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов.

Найдём определитель , который получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов, тогда

Аналогично:

По формулам Крамера решение системы:

, ,

Ответ:

Задача . Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение . Составим расширенную матрицу системы: слева от черты коэффициенты при неизвестных, справа свободные члены. Приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований со строками к виду: