Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):
,
где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением, P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.
В двумерном случае: 
, где BC 
xOy.
Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси O x и O y вектора переменной силы 
, то
А = 
(13)
– это работа силы 
при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги B C.
Пусть кривая BC задана параметрически: 
причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а tB, tC – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда
и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:
.
Векторная функция скалярного аргумента
Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка 
ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: 
.
Откладывая векторы 
при 
от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции 
.
Проекции вектора 
на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:
,
где векторы 
– это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.
Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции 
находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:
,
.
Если параметр t – это время, то векторное уравнение 
называют уравнением движения точки, а годограф вектор-функции 
является траекторией движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения точки в момент времени t:
. (14)
Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t. Вектор
(15)
называется ускорением движения точки в момент времени t.
Векторное поле
5.1. Поток векторного поля через поверхность
Если в любой точке M(x,y, z) области V 
xOyz задан вектор 
, то говорят, что в области V задано векторное поле 
.
Примеры: силовое поле 
, поле скоростей 
текущей жидкости, поле электростатических напряженностей 
.
Векторное поле является заданным, если задана векторная функция 
от координат точки M(x,y, z). Как правило, функцию 
задают в виде 
, где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x,y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).
Аналогично определяют плоское векторное поле 
в двумерной области D: 
.
Пусть в области V 
xOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали 
– единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.
Потоквекторного поля 
через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора 
на орт нормали 
к поверхности (рис. 6):
.
Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей 
текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.
Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: 
, следовательно, орт нормали
.
Для вычисления поверхностного интеграла 
поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область D 
x O y. Тогда 
, и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:
, (16)
где знак «+» следует брать в случае, когда вектор 
и орт «внешней» нормали 
, указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».
При вычислении двойного интеграла 
нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x,y,используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.
Поток вектора 
через замкнутую поверхность σ внаправлении ее «внешней» нормали обозначают 
.
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
.
Пусть 
– векторное поле, заданное в области V x O yz . Д ивергенцией векторного поля 
называется скалярная функция
, (17)
которая характеризует наличие источников (если 
> 0) и стоков (если 
< 0), или их отсутствие (если 
= 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора 
через замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:
, (18)
т.е. поток вектора 
через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 171; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!