Цилиндр- тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из своих сторон.
Sб = 2Пrh - площадь боковой поверхности цилиндра
Sп = 2Пrh + 2Пr2 - площадь полной поверхности цилиндра
V=Пr2h – объём цилиндра
Конус
Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, являющегося высотой конуса.
Sб = Пrl - площадь боковой поверхности конуса
Sп = Пrl + Пr2 - площадь полной поверхности конуса
V=1/3Пr2h – объём конуса
Усечённый конус
Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием конуса и плоскостью, параллельной основанию
Sб = П(R+r)l - площадь боковой поверхности усечённого конуса
Sп = Пl(R+r) + Пr2+ПR2 - площадь полной поверхности усечённого конуса
V=1/3Пh(r2 + R2 +Rr) – объём усечённого конуса
Сфера и шар
Площадь поверхности и объём шара
Sш.= 4П R2
Vш.=4/3П R3
Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Радиус сферы R – отрезок соединяющий центр и любую точку сферы.
Диаметр сферы – отрезок соединяющий 2 точки сферы и проходящий через её центр, равный 2R.
Шар – тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПЛОСКОСТИ.
Возможны 3 случая:
1. d<R, тогда R2-d2>0, все точки этой окружности являются общими точками окружности и сферы.
Если расстояние от центра сферы до плоскости <R сферы, то сечение сферы плоскостью – окружность.
|
|
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 – больший круг шара.
2. d=R, тогда R2-d2=0
О – общая точка сферы и плоскости
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно R сферы, то они имеют только одну общую точку.
3. d>R, тогда R2-d2<0.
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше R сферы, то они не имеют общих точек.
Касательная плоскость.
Касательной плоскостью к шаровой поверхности называется плоскость, имеющая с этой поверхностью только одну общую точку.
Теорема. Плоскость, перпендикулярная к радиусу сферы в его конце, лежащем на сфере, есть касательная плоскость.
Дано: а к радиусу ОА в его конце А
Требуется доказать, что любая точка плоскости а, кроме точки А, лежит вне сферы.
Доказательство. Возьмём на плоскости произвольную точку М, отличную от точк и А, и соединим прямой точки М и О. Получим:
МО – наклонную и АО – перпендикуляр к плоскости а. Получаем что МО >АО т. е. точка М лежит вне сферы. Следовательно, у сферы и плоскости а только одна общая точка А, т. е. плоскость а – касательная к сфере.
Части шара
1. Шаровой сегмент - тело, отсекаемое от шара плоскостью.
Отрезок радиуса, перпендикулярного к плоскости сечения, между этой плоскостью и поверхностью шара называется высотой сегмента.
|
|
Sшар.сегм.=2П Rh; Vшар.сегм.= П h ( R- h/3)
2. Шаровой слой - тело, отсекаемое от шара двумя параллельными плоскостями. Сферическая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом.
Расстояние между параллельными плоскостями называется высотой шарового слоя.
3. Простой шаровой сектор - тело, полученное вращением кругового сектора вокруг своего радиуса.
Если ось вращения не совпадает с радиусом, ограничивающим круговой сектор, то в результате вращения этого сектора вокруг оси получается полый шаровой сектор.
Vшар.сек.= 2/3П R h
Примеры решения задач
- Образующая конуса равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите высоту конуса.
![]() | Дано:
Конус, |SA|=6 см, ![]() ![]() |
Решение:
Рассмотрим SOА - прямоугольный.
sin 60 0 =
=
sin 60 0 = 6
= 3
см.
Ответ. |SO| = 3 см.
2.Площадь основания конуса равна 16 дм2, а боковая поверхность 20
дм2 . Найдите объем конуса.
![]() ![]() ![]() |
Решение:
V = Soh;
Так как в основании конуса лежит круг, то
2 = 16
;
|
|
2 = 16;
= 7 (дм).
Sбок =
.
Подставим в формулу = 4, Sбок = 20
.
4
= 20
;
= 5 (дм).
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора |SO|=
V =
16
3 = 16
(дм3).
Ответ. V = 16 (дм3).
Контрольные задачи
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания - 4 м2. Найдите высоту цилиндра.
2. Высота и образующая конуса относятся как 35:37. Полная поверхность конуса равна 588 см2. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.
3. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.
4. Радиусы оснований усеченного конуса и его высота относятся как 3:6:4. Вычислите боковую поверхность и объем конуса, если его образующая равна 25 см.
5. Высота усеченного конуса равна 3 см. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого, а образующая наклонена к основанию под углом 450. Найдите боковую поверхность и объем этого конуса.
6. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
|
|
7. Боковая поверхность конуса 15 дм2, а полная поверхность 24
дм2. Найдите объем конуса.
8. Боковая поверхность конуса 15 дм2, а полная поверхность 24
дм2. Найдите объем конуса.
9. Образующая усеченного конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 600. Зная, что радиус большего основания равен 5 см, найдите боковую поверхность и объем усеченного конуса.
10. Угол между образующей и осью конуса равен 450, образующая равна 6,5 см. Найдите радиус основания конуса.
11. Высота усеченного конуса равна 3 см. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом 450. Найдите площадь боковой поверхности и объем этого конуса.
12. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, образующая равна 10 см. Найдите высоту усеченного конуса.
13. Площадь основания конуса 9 см2 , полная поверхность его 24
см2 . Найдите объем конуса.
14. Площадь основания конуса 9 см2 , полная поверхность его 24
см2. Найдите объем конуса.
15. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса его основания, площадь полной поверхности равна 264 см2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
16. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите образующую, если радиус основания конуса равен 6 см.
17. Радиусы оснований усеченного конуса 6 м и 2 м, образующая наклонена к основанию под углом 450. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.
18. Шар пересекает плоскость на расстоянии 9 см от центра, площадь сечения
1600 см2. Найдите радиус шара
19. Поверхность шара равна 225 м2. Определите его объем.
Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.
Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить не менее 15 задач из предложенных, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 618; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!